《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例1] (对接教材例3)比较下列各组数的大小:
(1) $1.5^{2.5}$ 和 $1.5^{3.2}$；
(2) $0.6^{-1.2}$ 和 $0.6^{-1.5}$；
(3) $1.2^{0.3}$ 和 $0.8^{1.2}$。
【解】（1）函数$y=1.5^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，$2.5＜3.2$，所以$1.5^{2.5}＜1.5^{3.2}$.
（2）函数$y=0.6^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，$-1.2＞-1.5$，所以$0.6^{-1.2}＜0.6^{-1.5}$.
（3）由指数函数的性质，$1.2^{0.3}＞1.2^{0}=1$，又$0.8^{1.2}＜0.8^{0}=1$，所以$1.2^{0.3}＞0.8^{1.2}$.

答案： 【解】（1）函数$y=1.5^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，$2.5＜3.2$，所以$1.5^{2.5}＜1.5^{3.2}$.
（2）函数$y=0.6^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，$-1.2＞-1.5$，所以$0.6^{-1.2}＜0.6^{-1.5}$.
（3）由指数函数的性质，$1.2^{0.3}＞1.2^{0}=1$，又$0.8^{1.2}＜0.8^{0}=1$，所以$1.2^{0.3}＞0.8^{1.2}$.

[跟踪训练1] (1)若 $a = 1.02^{0.5}$, $b = 1.02^{0.6}$, $c = 0.6^{0.5}$,则 (C)
A.$c ＞ a ＞ b$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$b ＞ a ＞ c$
D.$a ＞ b ＞ c$

答案： 选C.由函数$y=1.02^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，得$1.02^{0.5}＜1.02^{0.6}$，即$a＜b$，又函数$y=x^{0.5}$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$1.02^{0.5}＞0.6^{0.5}$，即$a＞c$.综上所述$b＞a＞c$.

(2)设 $\frac{1}{3} ＜ (\frac{1}{3})^{b} ＜ (\frac{1}{3})^{a} ＜ 1$,则这三个数 $a^{a}$, $a^{b}$, $b^{a}$由小到大的排列顺序为$a^{b}＜a^{a}＜b^{a}$。

答案： 解析：因为$y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，且$\dfrac{1}{3}＜\left(\dfrac{1}{3}\right)^{b}＜\left(\dfrac{1}{3}\right)^{a}＜1=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{0}$，所以$0＜a＜b＜1$，因为$a＞0$，所以幂函数$y=x^{a}$在$(0,+\infty)$上单调递增，由$0＜a＜b＜1$得$a^{a}＜b^{a}$，因为$0＜a＜1$，所以指数函数$y=a^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，由$a＜b$得$a^{a}＞a^{b}$，所以$a^{b}＜a^{a}＜b^{a}$.答案：$a^{b}＜a^{a}＜b^{a}$

[例2] (1)解不等式: $7^{3x} ＜ (\frac{1}{7})^{12 - 6x}$；
<题目>(2)已知 $a^{x^{2} - 3x + 1} ＜ a^{x + 6}(a ＞ 0$,且 $a \neq 1)$,求 $x$的取值范围。
【解】（1）原不等式可化为$7^{3x}＜7^{6x-12}$，由函数$y=7^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，可得$3x＜6x-12$，解得$x＞4$，故原不等式的解集为$\{x|x＞4\}$.
（2）①当$0＜a＜1$时，函数$f(x)=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，所以$x^{2}-3x+1＞x+6$，即$x^{2}-4x-5＞0$，解得$x＜-1$或$x＞5$；②当$a＞1$时，函数$f(x)=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，所以$x^{2}-3x+1＜x+6$，即$x^{2}-4x-5＜0$，解得$-1＜x＜5$.综上所述，当$0＜a＜1$时，$x$的取值范围为$\{x|x＜-1$或$x＞5\}$；当$a＞1$时，$x$的取值范围为$\{x|-1＜x＜5\}$.

答案： 【解】（1）原不等式可化为$7^{3x}＜7^{6x-12}$，由函数$y=7^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，可得$3x＜6x-12$，解得$x＞4$，故原不等式的解集为$\{x|x＞4\}$.
（2）①当$0＜a＜1$时，函数$f(x)=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，所以$x^{2}-3x+1＞x+6$，即$x^{2}-4x-5＞0$，解得$x＜-1$或$x＞5$；②当$a＞1$时，函数$f(x)=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，所以$x^{2}-3x+1＜x+6$，即$x^{2}-4x-5＜0$，解得$-1＜x＜5$.综上所述，当$0＜a＜1$时，$x$的取值范围为$\{x|x＜-1$或$x＞5\}$；当$a＞1$时，$x$的取值范围为$\{x|-1＜x＜5\}$.

若不等式 $7^{ax - 1} ＜ (\frac{1}{7})^{ax^{2}}$恒成立，求实数 $a$的取值范围。
解：因为不等式$7^{ax-1}＜\left(\dfrac{1}{7}\right)^{ax^{2}}$恒成立，即$7^{ax-1}＜7^{-ax^{2}}$恒成立，且函数$y=7^{x}$在$\mathbf{R}$上为增函数，所以$ax-1＜-ax^{2}$恒成立，即$ax^{2}+ax-1＜0$恒成立，当$a=0$时，$-1＜0$恒成立，符合题意；当$a\neq0$时，则$\begin{cases}a＜0,\\\Delta=a^{2}+4a＜0,\end{cases}$解得$-4＜a＜0$.综上可得$-4＜a\leqslant0$，即实数$a$的取值范围是$(-4,0]$.

答案： 解：因为不等式$7^{ax-1}＜\left(\dfrac{1}{7}\right)^{x^{2}}$恒成立，即$7^{ax-1}＜7^{-x^{2}}$恒成立，且函数$y=7^{x}$在$\mathbf{R}$上为增函数，所以$ax-1＜-x^{2}$恒成立，即$ax^{2}+ax-1＜0$恒成立，当$a=0$时，$-1＜0$恒成立，符合题意；当$a\neq0$时，则$\begin{cases}a＜0,\\\Delta=a^{2}+4a＜0,\end{cases}$解得$-4＜a＜0$.综上可得$-4＜a\leqslant0$，即实数$a$的取值范围是$(-4,0]$.