《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一 任意角的三角函数的定义
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数,如图所示。

定义$\sin\alpha=\frac{对边}{斜边}$,$\cos\alpha=\frac{邻边}{斜边}$,$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}$。
思考1
定义中的三个三角函数,对于同样大的一个角来说,如果三角形的大小改变(相似变化),其三角函数值是否改变？
思考2

如图,如果一个锐角$\alpha的终边与单位圆\odot O的交点是P(x,y)$,根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点$P的坐标表示\sin\alpha$,$\cos\alpha$,$\tan\alpha$？
思考1提示 不变. 思考2提示 sinα=y，cosα=x，tanα=$\frac{y}{x}$.

答案： 思考1提示 不变. 思考2提示 sinα=y，cosα=x，tanα=$\frac{y}{x}$.

答案： ①y ②sinα ③x ④cosα ⑤$\frac{y}{x}$ ⑥tanα

(对接教材例1)利用定义求$\frac{2\pi}{3}$的正弦、余弦和正切值。

答案：
[解] 如图所示，$\frac{2π}{3}$的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B. 在△OPB中，|OP| =1，∠POB=$\frac{π}{3}$，则|PB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，|OB|=$\frac{1}{2}$，则P(−$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$). 所以sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos$\frac{2π}{3}$ =−$\frac{1}{2}$，tan$\frac{2π}{3}$ =$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}$=−$\sqrt{3}$.