《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例1] (对接教材例6)已知函数$f(x)= -x^2 + 2$,$g(x)= x$,令$\varphi(x)= \min\{f(x),g(x)\}$,即$f(x)和g(x)$中的较小者。
(1)分别用图象法和解析法表示$\varphi(x)$；
(2)求函数$\varphi(x)$的定义域,值域。
母题探究
在本例中,令$u(x)= \max\{f(x),g(x)\}$,即$f(x)和g(x)$中的较大者。
(1)分别用图象法和解析法表示$u(x)$；
(2)求函数$u(x)$的定义域,值域。
(1)在同一平面直角坐标系中作出函数$f(x),g(x)$的图象如图1. 由图1中函数取值的情况，结合函数$\varphi (x)$的定义，可得函数$\varphi (x)$的图象如图2. 令$-x^{2}+2=x$，解得$x=-2$或$x=1$. 结合图2，得出$\varphi (x)=\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+2,x\leqslant -2\\ x,-2＜x＜1\\ -x^{2}+2,x\geqslant 1\end{array}\right. $
(2)由(1)中图2知，$\varphi (x)$的定义域为$R$，$\varphi (x)_{max}=\varphi (1)=1$，所以$\varphi (x)$的值域为$(-\infty ,1]$.
母题探究 解:
(1)由例1解析图1中函数取值的情况，结合函数$u(x)$的定义，可得函数$u(x)$的图象如图. 得出$u(x)$的解析式为$u(x)=\left\{\begin{array}{l} x,x\leqslant -2\\ -x^{2}+2,-2＜x＜1\\ x,x\geqslant 1\end{array}\right. $
(2)由(1)中图象知，$u(x)$的定义域为$R$，值域为$R$.

答案：
(1)在同一平面直角坐标系中作出函数$f(x),g(x)$的图象如图1. 由图1中函数取值的情况，结合函数$\varphi (x)$的定义，可得函数$\varphi (x)$的图象如图2. 令$-x^{2}+2=x$，解得$x=-2$或$x=1$. 结合图2，得出$\varphi (x)=\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+2,x\leqslant -2\\ x,-2＜x＜1\\ -x^{2}+2,x\geqslant 1\end{array}\right. $
(2)由
(1)中图2知，$\varphi (x)$的定义域为$R$，$\varphi (x)_{max}=\varphi (1)=1$，所以$\varphi (x)$的值域为$(-\infty ,1]$. 母题探究 解:
(1)由例1解析图1中函数取值的情况，结合函数$u(x)$的定义，可得函数$u(x)$的图象如图. 得出$u(x)$的解析式为$u(x)=\left\{\begin{array}{l} x,x\leqslant -2\\ -x^{2}+2,-2＜x＜1\\ x,x\geqslant 1\end{array}\right. $
(2)由
(1)中图象知，$u(x)$的定义域为$R$，值域为$R$.

已知函数$f(x)= 1+\frac{|x| - x}{2}(-2\lt x\leqslant2)$。
(1)用分段函数的形式表示函数$f(x)$；
(2)画出函数$f(x)$的图象,并写出函数$f(x)$的值域。
(1)当$0\leqslant x\leqslant 2$时，$f(x)=1+\frac {x-x}{2}=1$；当$-2＜x＜0$时，$f(x)=1+\frac {-x-x}{2}=1-x$；所以$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1-x,-2＜x＜0\\ 1,0\leqslant x\leqslant 2\end{array}\right. $
(2)由(1)得$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1-x,-2＜x＜0\\ 1,0\leqslant x\leqslant 2\end{array}\right. $，由此画出$f(x)$的图象如图所示，由图象知，$f(x)$的值域为$[1,3)$。

答案：
(1)当$0\leqslant x\leqslant 2$时，$f(x)=1+\frac {x-x}{2}=1$；当$-2＜x＜0$时，$f(x)=1+\frac {-x-x}{2}=1-x$；所以$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1-x,-2＜x＜0\\ 1,0\leqslant x\leqslant 2\end{array}\right. $
(2)由
(1)得$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1-x,-2＜x＜0\\ 1,0\leqslant x\leqslant 2\end{array}\right. $，由此画出$f(x)$的图象如图所示，由图象知，$f(x)$的值域为$[1,3)$.