《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)若 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 分别为定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数、奇函数,则函数 $ h(x) = f(x)g(x) $ 的部分图象可能为 (AC)

答案： 解析：选 AC. 因为 f(x)与 g(x)分别为定义在 R 上的偶函数、奇函数，所以 h(-x) = f(-x)g(-x) = -f(x)g(x) = -h(x)，所以函数 h(x) = f(x)g(x)为奇函数，所以 h(x)的图象关于原点对称.

2. 已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数,当 $ x \in [0,+\infty) $ 时, $ f(x)= \begin{cases}2 - x,x \geq 2,\\x^2 + 1,0 \leq x \lt 2,\end{cases} $ 则 $ f(f(3)) $ = 2.

答案： 解析：因为 f
(3) = 2 - 3 = -1，f(x)为偶函数，所以 f(f
(3)) = f(-1) = f
(1) = 2.
答案：2

3. 已知函数 $ f(x)(x \in \mathbf{R}) $ 对任意 $ x $ 都有 $ |f(x)| = |f(-x)| $,判断函数 $ f(x)(x \in \mathbf{R}) $ 的奇偶性,小明同学的解法如下:
因为 $ x \in \mathbf{R} $,所以定义域关于原点对称.
又因为 $ |f(x)| = |f(-x)| $,所以 $ f(x) = f(-x) $ 或 $ -f(x) = f(-x) $,
所以 $ f(x) $ 为奇函数或偶函数.
请判断小明的上述解法是否正确? 若不正确,请举出一个反例.
不正确，理由如下：因为函数 f(x)(x ∈ R)对任意 x 都有|f(x)| = |f(-x)|，所以 f(x) = f(-x)或 -f(x) = f(-x)，即可能对 R 中一部分 x，有 f(x) = f(-x)成立，而对另一部分 x 有 -f(x) = f(-x)成立. 而奇偶性的要求是对整个 R 上的 x，二者中的一种关系成立，不能交替出现，所以不正确. 如 f(x) = { 2, x ≥ 1; -2, x ＜ 1 }，该函数为非奇非偶函数.

答案： 解析：不正确，理由如下：因为函数 f(x)(x ∈ R)对任意 x 都有|f(x)| = |f(-x)|，所以 f(x) = f(-x)或 -f(x) = f(-x)，即可能对 R 中一部分 x，有 f(x) = f(-x)成立，而对另一部分 x 有 -f(x) = f(-x)成立. 而奇偶性的要求是对整个 R 上的 x，二者中的一种关系成立，不能交替出现，所以不正确. 如 f(x) = { 2, x ≥ 1; -2, x ＜ 1 }，该函数为非奇非偶函数.

[例 1] (1)已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足 $ f(4 - x) = f(x) $,且当 $ x \geq 2 $ 时, $ f(x) $ 单调递增,则不等式 $ f(2 - x) \geq f(x + 1) $ 的解集为 (A)
A.$ [\frac{1}{2},+\infty) $
B.$ (0,\frac{1}{2}] $
C.$ (-\infty,\frac{1}{2}] $
D.$ (-\infty,-\frac{1}{2}] $

答案： [例 1][解析]　
(1)由 f(4 - x) = f(x)，得 f(x)图象的对称轴为直线 x = 2，又当 x ≥ 2 时，f(x)单调递增，且 f(2 - x) ≥ f(x + 1)，所以|(2 - x) - 2| ≥ |(x + 1) - 2|，即 x² ≥ (x - 1)²，解得 x ≥ $\frac{1}{2}$.
(2)函数 g(x)的定义域为 R，且 y = g(x)的图象关于点(1, 0)对称，所以 g(x) + g(2 - x) = 0，所以 g
(1) = 0，又 f(x) + g(1 - x) = 3，当 x = 0 时，f
(0) + g
(1) = 3，所以 f
(0) = 3.
[答案]　
(1)A　
(2)3

(2)已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的两个函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $,若 $ f(x) + g(1 - x) = 3 $,且 $ y = g(x) $ 的图象关于点 $ (1,0) $ 对称,则 $ f(0) = $3.

答案： 因为$ y = g(x) $的图象关于点$ (1,0) $对称，所以对任意$ x \in \mathbf{R} $，有$ g(2 - x) + g(x) = 0 $。
令$ x = 1 $，则$ g(2 - 1) + g(1) = 0 $，即$ g(1) + g(1) = 0 $，解得$ g(1) = 0 $。
已知$ f(x) + g(1 - x) = 3 $，令$ x = 0 $，得$ f(0) + g(1 - 0) = 3 $，即$ f(0) + g(1) = 3 $。
因为$ g(1) = 0 $，所以$ f(0) + 0 = 3 $，故$ f(0) = 3 $。
3

[跟踪训练 1] (1)已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数,其图象关于点 $ (1,0) $ 中心对称,且当 $ x \in [0,1] $ 时, $ f(x) = x - 1 $,则 $ f(\frac{5}{2}) = $ (C)
A.$ -\frac{1}{2} $
B.$ 0 $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ 1 $

答案：
(1) 解析：选 C. 因为 f(x)的图象关于点(1, 0)对称，所以 f(1 + x) + f(1 - x) = 0，将 x = $\frac{3}{2}$代入，可得 f($\frac{5}{2}$) + f(-$\frac{1}{2}$) = 0，又 f(x)是偶函数，所以 f($\frac{5}{2}$) = -f(-$\frac{1}{2}$) = -f($\frac{1}{2}$) = -($\frac{1}{2}$ - 1) = $\frac{1}{2}$.

(2)已知定义域为 $ \mathbf{R} $ 的函数 $ f(x) $ 在 $ [2,+\infty) $ 上单调递减,且 $ f(x + 2) $ 是偶函数,则 $ f(0) $, $ f(\frac{5}{2}) $, $ f(3) $ 的大小关系是 $f(0)＜f(3)＜f(\frac{5}{2})$.

答案：
(2) 解析：由于 f(x + 2)是偶函数，则 f(x)的图象关于直线 x = 2 对称，又因为 f(x)的定义域为 R，且在[2, +∞)上单调递减，所以函数 f(x)在(-∞, 2]上单调递增. 则根据增减性的特点，分析得到距离对称轴越近，函数值越大. 由于|0 - 2| ＞ |3 - 2| ＞ |$\frac{5}{2}$ - 2|，所以 f
(0) ＜ f
(3) ＜ f($\frac{5}{2}$).
答案：f
(0) ＜ f
(3) ＜ f($\frac{5}{2}$)