《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例 3]
已知$\sin\alpha - \cos\alpha=\frac{1}{5}$,$\alpha\in(0,\pi)$,求：
(1) $\sin\alpha\cos\alpha$的值；
(2) $\sin\alpha+\cos\alpha$的值。
母题探究
本例条件不变,求$\tan\alpha$的值。
(1)$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{12}{25}$；
(2)$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}$；母题探究：$\tan\alpha=\frac{4}{3}$

答案：
(1)$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{12}{25}$；
(2)$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}$；母题探究：$\tan\alpha=\frac{4}{3}$

(1) 已知函数$f(x)= \log_{a}(x - 1)+3(a\gt0且a\neq1)的图象经过定点A$,且点$A在角\theta$的终边上,则$\frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}=$(D)
A.$-\frac{1}{5}$
B.$0$
C.$5$
D.$\frac{1}{5}$

答案： D

(2) 已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{5}$,则$\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha=$ $\frac{41}{50}$。

答案： $\frac{41}{50}$

[例 4]
(1) 化简：$\tan\alpha\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\alpha}-1}$,其中$\alpha$是第二象限角；$-1$
(2) 化简：$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}\cdot\sqrt{\frac{\tan\alpha - \sin\alpha}{\tan\alpha+\sin\alpha}}$。$\pm1$

答案：
(1)$-1$；
(2)$\pm1$

[例 5]
求证：$\sin\alpha(1 + \tan\alpha)+\cos\alpha(1+\frac{1}{\tan\alpha})= \frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}$。
证明：$\sin\alpha(1+\tan\alpha)+\cos\alpha\left(1+\frac{1}{\tan\alpha}\right)=\sin\alpha\left(1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)+\cos\alpha\left(1+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)=\sin\alpha+\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}+\cos\alpha+\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\cos\alpha}+\frac{1-\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{1}{\cos\alpha}-\cos\alpha+\frac{1}{\sin\alpha}-\sin\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}$.所以原式成立.

答案： 证明：$\sin\alpha(1+\tan\alpha)+\cos\alpha\left(1+\frac{1}{\tan\alpha}\right)=\sin\alpha\left(1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)+\cos\alpha\left(1+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)=\sin\alpha+\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}+\cos\alpha+\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\cos\alpha}+\frac{1-\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{1}{\cos\alpha}-\cos\alpha+\frac{1}{\sin\alpha}-\sin\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}$.所以原式成立.