《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例1]

函数$f(x)= 2^{x}和g(x)= x^{3}$的图象如图所示。设两函数的图象交于点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,且$x_{1}\lt x_{2}$。
(1) 请指出图中曲线$C_{1}$,$C_{2}$分别对应的函数；
(2) 结合函数图象,判断$f(6)$,$g(6)$,$f(2025)$,$g(2025)$的大小关系。
(1)曲线$C_{1}$对应的函数为$g(x)=x^{3}$，$C_{2}$对应的函数为$f(x)=2^{x}$
(2)$f(2025)＞g(2025)＞g(6)＞f(6)$

答案：
(1)曲线$C_{1}$对应的函数为$g(x)=x^{3}$，$C_{2}$对应的函数为$f(x)=2^{x}$.
(2)$f(2025)＞g(2025)＞g(6)＞f(6)$.

函数$f(x)= \lg x$,$g(x)= 0.3x - 1$的图象如图所示。

(1) 指出曲线$C_{1}$,$C_{2}$分别对应哪一个函数；
(2) 比较两函数的增长差异,并以两图象交点为分界点,对$f(x)$,$g(x)$的大小进行比较。
(1)曲线$C_{1}$对应的函数为$g(x)=0.3x - 1$，曲线$C_{2}$对应的函数为$f(x)=\lg x$.
(2)函数$f(x)$，$g(x)$在$(0, +\infty)$上都单调递增，随着$x$的增大，$f(x)$的增长速度越来越慢，$g(x)$的增长速度保持不变. 当$x∈(0, x_{1})$时，$g(x)＞f(x)$；当$x∈(x_{1}, x_{2})$时，$g(x)＜f(x)$；当$x∈(x_{2}, +\infty)$时，$g(x)＞f(x)$；当$x = x_{1}$或$x = x_{2}$时，$f(x)=g(x)$.

答案：
(1)曲线$C_{1}$对应的函数为$g(x)=0.3x - 1$，曲线$C_{2}$对应的函数为$f(x)=\lg x$.
(2)函数$f(x)$，$g(x)$在$(0, +\infty)$上都单调递增，随着$x$的增大，$f(x)$的增长速度越来越慢，$g(x)$的增长速度保持不变. 当$x∈(0, x_{1})$时，$g(x)＞f(x)$；当$x∈(x_{1}, x_{2})$时，$g(x)＜f(x)$；当$x∈(x_{2}, +\infty)$时，$g(x)＞f(x)$；当$x = x_{1}$或$x = x_{2}$时，$f(x)=g(x)$.

[例2]
某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,若预计年利润率(利润/成本)低于$10\%$,则该企业就考虑转型。下表显示的是某企业几年来利润$y$(单位：百万元)与年投资成本$x$(单位：百万元)变化的一组数据：

给出以下三个函数模型：①$y = kx + b(k\neq0)$；②$y = ab^{x}(a\neq0,b\gt0,b\neq1)$；③$y= \log_{a}(x + b)(a\gt0,a\neq1)$。
(1) 选择一个恰当的函数模型来描述$x$,$y$之间的关系；
(2) 试判断该企业年利润为6百万元时,该企业是否要考虑转型。
(1)可用③来描述$x$，$y$之间的关系.
(2)该企业要考虑转型.

答案：
(1)可用③来描述$x$，$y$之间的关系.
(2)该企业要考虑转型.