《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. (教材 $P_{126}$ 练习 $T_{1}$ 改编) $\log_{6}2+\log_{6}3= $ (1)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 解析:选 A.易知$\log_{6}2+\log_{6}3=\log_{6}(2$
$×3)=\log_{6}6=1$.

2. (多选) 设 $a$,$b$,$c$ 是均不等于 $1$ 的正实数,则下列等式中恒成立的是 (AD)
A.$\log_{a}b\cdot\log_{c}a= \log_{c}b$
B.$\log_{a}(bc)= \log_{a}b\cdot\log_{a}c$
C.$\log_{a}(b + c)= \log_{a}b+\log_{a}c$
D.$\log_{a}b= \log_{a^{c}}b^{c}$

答案： 解析:选 AD.依题意,$\log_{a}b\cdot\log_{c}a=$
$\frac{\ln b}{\ln a}\cdot\frac{\ln a}{\ln c}=\frac{\ln b}{\ln c}=\log_{c}b$,A正确;令$a=$
$2$,$b=4$,$c=16$,则$\log_{a}(bc)=\log_{2}8=3$,
$\log_{a}b\cdot\log_{a}c=\log_{2}4\cdot\log_{2}16=2$,B错误;
令$a=2$,$b=4$,$c=4$,则$\log_{a}(b + c)=\log_{2}8=3$,
$\log_{a}b+\log_{a}c=\log_{2}4+\log_{2}4=4$,C错误;
$\log_{a}b= \log_{a^{c}}b^{c}$,D正确.

3. (教材 $P_{127}$ $T_{5}$ 改编) 已知 $a = \lg3$,$b = \lg5$,则 $\lg75= $ $a+2b$。(用 $a$,$b$ 表示)

答案： $a+2b$

4. 化简下列各式：
(1) $(\lg2)^{3}+(\lg5)^{3}+3\lg2\cdot\lg5$；
(2) $(\log_{36}7+\log_{6}7)×(\log_{7}\sqrt{6}+\log_{7}6)$。
(1)原式$=(\lg2+\lg5)\cdot[(\lg2)^{2}-$$\lg2\cdot\lg5+(\lg5)^{2}]+3\lg2\cdot\lg5=$$(\lg2)^{2}+2\lg2\cdot\lg5+(\lg5)^{2}$$=(\lg2+\lg5)^{2}=1$.
(2)原式$=(\frac{1}{2}\log_{6}7+\log_{6}7)×(\frac{1}{2}\log_{7}6$$+\log_{7}6)=\frac{3}{2}\log_{6}7×\frac{3}{2}\log_{7}6$$=\frac{9}{4}×\frac{\lg7}{\lg6}×\frac{\lg6}{\lg7}=\frac{9}{4}$.

答案：
(1)原式$=(\lg2+\lg5)\cdot[(\lg2)^{2}-$
$\lg2\cdot\lg5+(\lg5)^{2}]+3\lg2\cdot\lg5=$
$(\lg2)^{2}+2\lg2\cdot\lg5+(\lg5)^{2}$
$=(\lg2+\lg5)^{2}=1$.
(2)原式$=(\frac{1}{2}\log_{6}7+\log_{6}7)×(\frac{1}{2}\log_{7}6$
$+\log_{7}6)=\frac{3}{2}\log_{6}7×\frac{3}{2}\log_{7}6$
$=\frac{9}{4}×\frac{\lg7}{\lg6}×\frac{\lg6}{\lg7}=\frac{9}{4}$.

同学们,我们已经知道,细胞分裂个数 $ y $ 与分裂次数 $ x $ 满足 $ y = 2^x $。

思考 1
将 $ y = 2^x $ 化为对数式得到什么结果？
提示 x=log₂y.
思考 2
$ x = \log_2 y $ 对于区间 $ (0, +\infty) $ 内的每一个 $ y $ 的值,是否都有唯一的实数 $ x $ 与之对应？$ x $ 能否看作是关于 $ y $ 的函数？
提示 任意 y∈(0,+∞),都有唯一的 x 对应,x 是关于 y 的函数.

答案： 思考1 提示 x=log₂y. 思考2 提示 任意 y∈(0,+∞),都有唯一的 x 对应,x 是关于 y 的函数.