《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[跟踪训练2] 不等式 $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 ＞ 0$的解集是$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。

答案： 解析：由$4^{x}-3\cdot2^{x}+2＞0$可得$(2^{x}-1)(2^{x}-2)＞0$，可得$2^{x}＜1$或$2^{x}＞2$，又因为函数$y=2^{x}$为$\mathbf{R}$上的增函数，则有$x＜0$或$x＞1$，故原不等式的解集为$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$.答案：$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$

[例3] 已知指数函数 $y = f(x)$,且 $f(-2) = \frac{1}{9}$,定义在 $\mathbf{R}$上的函数 $g(x) = \frac{-f(x) + n}{3f(x) + m}$是奇函数。
(1)求 $f(x)$和 $g(x)$的解析式；
(2)若对任意的 $t \in \mathbf{R}$,不等式 $g(t^{2} + 1) + g(2t^{2} + 2kt) ＜ 0$恒成立,求实数 $k$的取值范围。
【解】（1）设$f(x)=a^{x}(a＞0$且$a\neq1)$，$f(-2)=a^{-2}=\dfrac{1}{9}$，可得$a=3$，$f(x)=3^{x}$，则$g(x)=\dfrac{-3^{x}+n}{3^{x+1}+m}$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$g(0)=\dfrac{-1+n}{3+m}=0$，且$g(-x)=\dfrac{-3^{-x}+n}{3^{-x+1}+m}=\dfrac{n\cdot3^{x}-1}{m\cdot3^{x}+3}=-g(x)=\dfrac{3^{x}-n}{3^{x+1}+m}$，解得$\begin{cases}m=3,\\n=1,\end{cases}$所以$g(x)=\dfrac{1-3^{x}}{3^{x+1}+3}$.
（2）易知$g(x)=\dfrac{1-3^{x}}{3^{x+1}+3}=\dfrac{-(3^{x}+1)+2}{3(3^{x}+1)}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3(3^{x}+1)}$，因此可得$g(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的减函数.因为$g(t^{2}+1)+g(2t^{2}+2kt)＜0$恒成立，所以$g(t^{2}+1)＜-g(2t^{2}+2kt)=g(-2t^{2}-2kt)$恒成立，即$t^{2}+1＞-2t^{2}-2kt$恒成立，因此$3t^{2}+2kt+1＞0$恒成立，可得$\Delta=4k^{2}-12＜0$，解得$k\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})$.'

答案： 【解】（1）设$f(x)=a^{x}(a＞0$且$a\neq1)$，$f(-2)=a^{-2}=\dfrac{1}{9}$，可得$a=3$，$f(x)=3^{x}$，则$g(x)=\dfrac{-3^{x}+n}{3^{x+1}+m}$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$g(0)=\dfrac{-1+n}{3+m}=0$，且$g(-x)=\dfrac{-3^{-x}+n}{3^{-x+1}+m}=\dfrac{n\cdot3^{x}-1}{m\cdot3^{x}+3}=-g(x)=\dfrac{3^{x}-n}{3^{x+1}+m}$，解得$\begin{cases}m=3,\\n=1,\end{cases}$所以$g(x)=\dfrac{1-3^{x}}{3^{x+1}+3}$.
（2）易知$g(x)=\dfrac{1-3^{x}}{3^{x+1}+3}=\dfrac{-(3^{x}+1)+2}{3(3^{x}+1)}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3(3^{x}+1)}$，因此可得$g(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的减函数.因为$g(t^{2}+1)+g(2t^{2}+2kt)＜0$恒成立，所以$g(t^{2}+1)＜-g(2t^{2}+2kt)=g(-2t^{2}-2kt)$恒成立，即$t^{2}+1＞-2t^{2}-2kt$恒成立，因此$3t^{2}+2kt+1＞0$恒成立，可得$\Delta=4k^{2}-12＜0$，解得$k\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})$.

[跟踪训练3] 已知 $f(x)$为 $\mathbf{R}$上的奇函数,$g(x)$为 $\mathbf{R}$上的偶函数,且 $f(x) + g(x) = \frac{1}{2^{x}}$。
(1)求函数 $g(x)$的解析式；
(2)若关于 $x$的不等式 $2g(x) + \frac{a}{2^{x}} - 1 - a \geq 0$在 $(0, +\infty)$上恒成立.求实数 $a$的取值范围。
(1)因为$f(x)+g(x)=\dfrac{1}{2^{x}}$，①则$f(-x)+g(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}}=2^{x}$.又$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$g(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，则$-f(x)+g(x)=2^{x}$，②由①+②得$2g(x)=2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}$，所以$g(x)=\dfrac{1}{2}\left(2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}\right)$.(2)因为不等式$2g(x)+\dfrac{a}{2^{x}}-1-a\geqslant0$在$(0,+\infty)$上恒成立，由（1）知，即$2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}+\dfrac{a}{2^{x}}-1-a\geqslant0$在$(0,+\infty)$上恒成立，即$2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}-1\geqslant a-\dfrac{a}{2^{x}}=a\left(1-\dfrac{1}{2^{x}}\right)$，因为$x\in(0,+\infty)$，所以$0＜\dfrac{1}{2^{x}}＜1$，故$1-\dfrac{1}{2^{x}}＞0$.所以$a\leqslant\dfrac{2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}-1}{1-\dfrac{1}{2^{x}}}=\dfrac{(2^{x})^{2}-2^{x}+1}{2^{x}-1}=2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}-1}=2^{x}-1+\dfrac{1}{2^{x}-1}+1$，又$x\in(0,+\infty)$，所以$2^{x}-1＞0$，故$2^{x}-1+\dfrac{1}{2^{x}-1}+1\geqslant2\sqrt{(2^{x}-1)\cdot\dfrac{1}{2^{x}-1}}+1=3$，当且仅当$2^{x}-1=\dfrac{1}{2^{x}-1}$，即$x=1$时，等号成立，所以$a\leqslant3$，所以实数$a$的取值范围为$(-\infty,3]$.

答案： 解：（1）因为$f(x)+g(x)=\dfrac{1}{2^{x}}$，①则$f(-x)+g(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}}=2^{x}$.又$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$g(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，则$-f(x)+g(x)=2^{x}$，②由①+②得$2g(x)=2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}$，所以$g(x)=\dfrac{1}{2}\left(2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}\right)$.
（2）因为不等式$2g(x)+\dfrac{a}{2^{x}}-1-a\geqslant0$在$(0,+\infty)$上恒成立，由（1）知，即$2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}+\dfrac{a}{2^{x}}-1-a\geqslant0$在$(0,+\infty)$上恒成立，即$2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}-1\geqslant a-\dfrac{a}{2^{x}}=a\left(1-\dfrac{1}{2^{x}}\right)$，因为$x\in(0,+\infty)$，所以$0＜\dfrac{1}{2^{x}}＜1$，故$1-\dfrac{1}{2^{x}}＞0$.所以$a\leqslant\dfrac{2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}}-1}{1-\dfrac{1}{2^{x}}}=\dfrac{(2^{x})^{2}-2^{x}+1}{2^{x}-1}=2^{x}+\dfrac{1}{2^{x}-1}=2^{x}-1+\dfrac{1}{2^{x}-1}+1$，又$x\in(0,+\infty)$，所以$2^{x}-1＞0$，故$2^{x}-1+\dfrac{1}{2^{x}-1}+1\geqslant2\sqrt{(2^{x}-1)\cdot\dfrac{1}{2^{x}-1}}+1=3$，当且仅当$2^{x}-1=\dfrac{1}{2^{x}-1}$，即$x=1$时，等号成立，所以$a\leqslant3$，所以实数$a$的取值范围为$(-\infty,3]$.

.(教材 $P_{118}$ 习题4.2 $T_{1}$改编)函数 $y = \sqrt{3^{2x - 1} - \frac{1}{27}}$的定义域是 (B)
A.$[-2, +\infty)$
B.$[-1, +\infty)$
C.$(-\infty, -1]$
D.$(-\infty, -2]$

答案： 选B.由根式的定义域可得$3^{2x-1}-\dfrac{1}{27}\geqslant0$，即$3^{2x-1}\geqslant3^{-3}$，所以$2x-1\geqslant-3$，解得$x\geqslant-1$，所以函数$y=\sqrt{3^{2x-1}-\dfrac{1}{27}}$的定义域是$[-1,+\infty)$.

.(多选)已知 $f(x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$,则 (AD)
A.$f(x)$为奇函数
B.$f(x)$为偶函数
C.$f(x)$在 $\mathbf{R}$上单调递增
D.$f(x)$在 $\mathbf{R}$上单调递减

答案： 选AD.$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，因为$f(-x)=\dfrac{1-2^{-x}}{1+2^{-x}}=\dfrac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-\dfrac{1-2^{x}}{1+2^{x}}=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数，A正确；因为$f(x)=\dfrac{1-2^{x}}{1+2^{x}}=\dfrac{2}{1+2^{x}}-1$，且$y=2^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，则$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，D正确.