《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

(1) 已知$\sin(\frac{5\pi}{12}-\frac{\alpha}{2})= -\frac{\sqrt{5}}{4}$,则$\cos(\frac{13\pi}{12}+\frac{\alpha}{2})=$(D)
A.$-\frac{\sqrt{11}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{11}}{4}$
C.$-\frac{\sqrt{5}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{4}$

答案： D

(2) 已知$\sin(\alpha - 3\pi)= 2\sin(-\alpha+\frac{3\pi}{2})$,则$\frac{\sin(\pi-\alpha)-5\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{2\cos(2\pi-\alpha)-\sin(-\alpha)}= $$\frac{7}{4}$。

答案： $\frac{7}{4}$

例2
求证：$\frac{2\sin(\theta-\frac{3\pi}{2})\cos(\theta+\frac{\pi}{2})-1}{1-2\cos^{2}(\theta+\frac{3\pi}{2})}= \frac{\tan(3\pi+\theta)+1}{\tan(-\pi+\theta)-1}$。
左边=$\frac{2\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)-1}{1-2\cos^{2}\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)}$=$\frac{2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)(-\sin\theta)-1}{1-2\sin^{2}\theta}$=$\frac{2\cos\theta(-\sin\theta)-1}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}=\frac{-(\sin\theta+\cos\theta)^{2}}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}$.右边=$\frac{\tan(3\pi+\theta)+1}{\tan(-\pi+\theta)-1}$=$\frac{\tan\theta+1}{\tan\theta-1}=\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-1}=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=$左边.原等式得证.

答案： 左边=$\frac{2\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)-1}{1-2\cos^{2}\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)}$=$\frac{2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)(-\sin\theta)-1}{1-2\sin^{2}\theta}$=$\frac{2\cos\theta(-\sin\theta)-1}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}=\frac{-(\sin\theta+\cos\theta)^{2}}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}$.右边=$\frac{\tan(3\pi+\theta)+1}{\tan(-\pi+\theta)-1}$=$\frac{\tan\theta+1}{\tan\theta-1}=\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-1}=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=$左边.原等式得证.

求证：$\frac{\sin(2\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\cos(\frac{11\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)\sin(3\pi-\alpha)\sin(-\pi-\alpha)\sin(\frac{9\pi}{2}+\alpha)}= -\tan\alpha$。
左边=$\frac{-\sin\alpha\cdot(-\cos\alpha)(-\sin\alpha)(-\sin\alpha)}{(-\cos\alpha)\cdot\sin\alpha\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}=-\tan\alpha=$右边,所以等式成立.

答案： 左边=$\frac{-\sin\alpha\cdot(-\cos\alpha)(-\sin\alpha)(-\sin\alpha)}{(-\cos\alpha)\cdot\sin\alpha\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}=-\tan\alpha=$右边,所以等式成立.

例3
已知$f(\alpha)= \frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)\cos(\frac{7\pi}{2}-\alpha)}$。
(1) 化简$f(\alpha)$；
(2) 若$\theta$是第三象限角,且$f(\theta+\frac{\pi}{4})= \frac{3}{5}$,求$f(\theta-\frac{\pi}{4})$的值。
(1)$-\cos\alpha$；
(2)$\frac{4}{5}$

答案：
(1)$-\cos\alpha$；
(2)$\frac{4}{5}$