《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

4.
(教材$P_{43}T_{3}$改编)已知$m\in\mathbf{R}$,$a＞b＞1$,比较$y_{1}= \frac{ma}{a - 1}与y_{2}= \frac{mb}{b - 1}$的大小。$y_{1}-y_{2}=\frac{ma}{a - 1}-\frac{mb}{b - 1}=\frac{m(b - a)}{(a - 1)(b - 1)}$,因为$a ＞ b ＞ 1$,所以$(a - 1)(b - 1) ＞ 0$,$b - a ＜ 0$,当$m ＞ 0$时,$y_{1}-y_{2} ＜ 0$,即$y_{1} ＜ y_{2}$;当$m = 0$时,$y_{1}-y_{2}=0$,即$y_{1}=y_{2}$;当$m ＜ 0$时,$y_{1}-y_{2} ＞ 0$,即$y_{1} ＞ y_{2}$.

答案： $y_{1}-y_{2}=\frac{ma}{a - 1}-\frac{mb}{b - 1}=\frac{m(b - a)}{(a - 1)(b - 1)}$,因为$a ＞ b ＞ 1$,所以$(a - 1)(b - 1) ＞ 0$,$b - a ＜ 0$,当$m ＞ 0$时,$y_{1}-y_{2} ＜ 0$,即$y_{1} ＜ y_{2}$;当$m = 0$时,$y_{1}-y_{2}=0$,即$y_{1}=y_{2}$;当$m ＜ 0$时,$y_{1}-y_{2} ＞ 0$,即$y_{1} ＞ y_{2}$.

一 等式的基本性质
思考
解方程 $-2x + 4 = 0$ 的一般步骤是什么？
提示 一是移项,使方程左边只剩含 x 项,右边是常数项;二是把 x 的系数变为1.

答案： 提示 一是移项,使方程左边只剩含 x 项,右边是常数项;二是把 x 的系数变为1.

性质1 如果 $a = b$,那么 $\underline{①b=a}$。
性质2 如果 $a = b$,$b = c$,那么 $\underline{②a=c}$。
性质3 如果 $a = b$,那么 $\underline{③a±c=b±c}$。
性质4 如果 $a = b$,那么 $\underline{④ac=bc}$。
性质5 如果 $a = b$,$c \neq 0$,那么 $\underline{⑤a/c=b/c}$。

答案： ①b=a ②a=c ③a±c=b±c ④ac=bc ⑤a/c=b/c

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 若 $a^2 = b^2$,则 $a = b$。 (×)
(2) 若 $a(c^2 + 1) = b(c^2 + 1)$,则 $a = b$。 (√)
(3) 若 $ab = 0$,则 $a = 0$ 或 $b = 0$。 (√)
(4) 若 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$,且 $c + d \neq 0$,则 $\frac{a + b}{c + d} = \frac{a}{c}$。 (√)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)√
(4)√

2. 利用等式的基本性质,在横线上填上适当的数。
(1) 若 $2x - 3 = -5$,则 $2x =$ -2,$x =$ -1；
(2) 若 $5x + 2 = 2x - 4$,则 $3x =$ -6,$x =$ -2。

答案： 2.解析:
(1)根据等式的性质 3,等式两边同时加 3,得2x=-2.再根据等式的性质 5,等式两边同时除以 2,得x=-1.
(2)根据等式的性质 3,等式两边同时减(2x+2),得3x=-6.再根据等式的性质 5,等式两边同时除以 3,得x=-2.答案:
(1)-2 -1
(2)-6 -2

3. 设 $a \in \mathbf{R}$,求关于 $x$ 的方程 $ax = 2$ 的解集。
3.解:当a=0时,方程ax=2无解,此时解集为∅;当a≠0时,方程ax=2的解为x=2/a,此时解集为{2/a}.综上,当a=0时,解集为∅;当a≠0时,解集为{2/a}.

答案： 3.解:当a=0时,方程ax=2无解,此时解集为∅;当a≠0时,方程ax=2的解为x=2/a,此时解集为{2/a}.综上,当a=0时,解集为∅;当a≠0时,解集为{2/a}.