《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

（1）命题“∃x∈M，p(x)”的否定是“①∀x∈M,¬p(x)”。
（2）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做②全称量词。

答案： ①∀x∈M,¬p(x) ②全称量词

例 2
(对接教材例 4)写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)$ \exists x \in \mathbf{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 $；
(2)有的素数是偶数；
(3)$ \exists a, b \in \mathbf{R}, a^2 + b^2 \leq 0 $.
(1)命题的否定:∀x∈R,x²+2x+3＞0. 因为∀x∈R,x²+2x+3=(x+1)²+2≥2＞0恒成立,所以命题的否定为真命题.
(2)命题的否定:所有的素数都不是偶数. 由于2是素数也是偶数,因此命题的否定为假命题.
(3)命题的否定:∀a,b∈R,a²+b²＞0. 因为当a=b=0时,a²+b²=0,所以此命题的否定为假命题.

答案：
(1)命题的否定:∀x∈R,x²+2x+3＞0. 因为∀x∈R,x²+2x+3=(x+1)²+2≥2＞0恒成立,所以命题的否定为真命题.
(2)命题的否定:所有的素数都不是偶数. 由于2是素数也是偶数,因此命题的否定为假命题.
(3)命题的否定:∀a,b∈R,a²+b²＞0. 因为当a=b=0时,a²+b²=0,所以此命题的否定为假命题.

写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2)存在 $ k \in \mathbf{R} $,函数 $ y = kx + b $ 随 $ x $ 值的增大而减小；
(3)$ \exists x, y \in \mathbf{Z} $,使得 $ \sqrt{2}x + y = 3 $.
(1)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分. 假设存在梯形的对角线互相平分,而对角线互相平分的四边形为平行四边形,这与四边形为梯形相矛盾,所以任意一个梯形的对角线都不互相平分,所以命题的否定为真命题.
(2)命题的否定:对任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小. 当k＜0时,函数y=kx+b随x值的增大而减小,所以命题的否定为假命题.
(3)命题的否定:∀x,y∈Z,$\sqrt{2}$x+y≠3. 当x=0,y=3时,$\sqrt{2}$x+y=3,因此命题的否定为假命题.

答案：
(1)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分. 假设存在梯形的对角线互相平分,而对角线互相平分的四边形为平行四边形,这与四边形为梯形相矛盾,所以任意一个梯形的对角线都不互相平分,所以命题的否定为真命题.
(2)命题的否定:对任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小. 当k＜0时,函数y=kx+b随x值的增大而减小,所以命题的否定为假命题.
(3)命题的否定:∀x,y∈Z,$\sqrt{2}$x+y≠3. 当x=0,y=3时,$\sqrt{2}$x+y=3,因此命题的否定为假命题.

例 3
已知命题 $ p $：$ \exists x \in \mathbf{R}, ax^2 + 2x - 1 = 0 $ 为假命题,实数 $ a $ 的取值集合为 $ A $.
(1)求集合 $ A $；
(2)设非空集合 $ B = \{ x | 3m ＜ x ＜ m + 2 \} $,若 $ \forall x \in B, x \in A $ 为真命题,求实数 $ m $ 的取值集合.
(1){a|a＜-1}
(2){m|m≤-3}

答案：
(1)由命题p:∃x∈R,ax²+2x-1=0为假命题,得¬p:∀x∈R,ax²+2x-1≠0为真命题,当a=0时,x≠$\frac{1}{2}$,不符合题意;当a≠0时,Δ=4+4a＜0,解得a＜-1,综上,实数a的取值集合A={a|a＜-1}.
(2)若∀x∈B,x∈A为真命题,得B⊆A,又因为B≠∅,所以3m＜m+2≤-1,解得m≤-3,所以实数m的取值集合为{m|m≤-3}.

(1)若命题“$ \exists x \in \mathbf{R} $,使得 $ ax + 2 = 0 $”的否定是真命题,则实数 $ a $ 的取值范围为(C)
A.$ \{ a | a ＞ 0 \} $
B.$ \{ a | a ＞ 2 \} $
C.$ \{ 0 \} $
D.$ \{ a | a = 0 或 a ＞ 2 \} $

答案： 解析:选C.命题"∃x∈R,使得ax+2=0"的否定是"∀x∈R,使得ax+2≠0",因此a=0.

(2)已知命题“$ \exists x \geq 2 $,使得 $ 2x - 3 ＜ a $”是假命题,则实数 $ a $ 的取值范围是$a \leq 1$.

答案： 解析:由题意可知,"∀x≥2,使得2x-3≥a"为真命题,故a≤(2x-3)min=2×2-3=1. 答案:a≤1