《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 若 $ a = x^{2} + 3x + 5 $,$ b = 3x + 4 $,则 (B)
A.$ a ＜ b $
B.$ a ＞ b $
C.$ a = b $
D.$ a $,$ b $ 的大小关系无法确定

答案： 选B.因为a-b=x²+3x+5-3x-4=x²+1＞0,所以a＞b.

2. (多选)下列命题为真命题的是 (BC)
A.若 $ a ＞ b ＞ 0 $,则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $
B.若 $ a ＜ b ＜ 0 $,则 $ a^{2} ＞ b^{2} $
C.若 $ a ＞ b $,则 $ c - a ＜ c - b $
D.若 $ a ＜ b $,则 $ \frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b} $

答案： 选BC.对于A,若c=0,则ac²=bc²=0,A为假命题;对于B,若a＜b＜0,则a+b＜0,a-b＜0,故a²-b²=(a+b)(a-b)＞0,所以a²＞b²,B为真命题;对于C,若a＞b,则-a＜-b,故c-a＜c-b,C为真命题;对于D,不妨设a=-1,b=2,满足a＜b,但1/a＜1/b,D为假命题.

3. 已知 $ -1 ＜ x ＜ 2 $,$ 1 ＜ y ＜ 3 $,则 $ x - y $ 的取值范围是-4＜x-y＜1,$ xy $ 的取值范围是-3＜xy＜6。

答案： 解析:因为1＜y＜3,所以-3＜-y＜-1.又-1＜x＜2,所以-4＜x-y＜1.当-1＜x＜0时,0＜-x＜1,又1＜y＜3,所以0＜-xy＜3,得-3＜xy＜0;当0＜x＜2时,因为1＜y＜3,所以0＜xy＜6;当x=0时,xy=0.综上可得-3＜xy＜6.答案:-4＜x-y＜1 -3＜xy＜6

4. 生活中“汤菜加盐,越加越咸”。请将这一事实用 $ a ＞ b ＞ 0 $,$ c ＞ 0 $ 表示为一个不等式为 $\frac{b+c}{a+c}＞\frac{b}{a}$。

答案： 解析:设原有汤为a,其中含盐b,则盐的浓度为b/a,则加入盐为c后可得盐的浓度为(b+c)/(a+c),此时(b+c)/(a+c)＞b/a,理由如下:因为a＞b＞0,c＞0,所以(b+c)/(a+c)-b/a=[a(b+c)-b(a+c)]/[a(a+c)]=(ac-bc)/[a(a+c)]=(a-b)c/[a(a+c)]＞0,所以(b+c)/(a+c)＞b/a,所以将题中所述事实用a＞b＞0,c＞0表示为一个不等式为(b+c)/(a+c)＞b/a.答案:(b+c)/(a+c)＞b/a

1. 已知 $ x ＞ 0 $,$ y ＞ 0 $,$ xy = 4 $,则 $ x + 2y $ 的最小值为 (B)
A.4
B.$ 4\sqrt{2} $
C.6
D.$ 8\sqrt{2} $

答案： 选B.由于x＞0,y＞0,所以x+2y≥2√(2xy)=4√2,当且仅当x=2y=2√2时,等号成立,故x+2y的最小值为4√2.

2. 已知正数 $ a $,$ b $ 满足 $ 3a + b = ab $,则 $ a + 3b $ 的最小值是 (16)
A.16
B.$ 6\sqrt{3} $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.18

答案： 选A.由已知a＞0,b＞0满足3a+b=ab,得3/b+1/a=1,则a+3b=(a+3b)(3/b+1/a)=3b/a+3a/b+10≥2√(3b/a·3a/b)+10=16,当且仅当3b/a=3a/b,即a=b=4时,等号成立,所以a+3b的最小值是16.

3. 已知 $ a ＞ 1 $,则 $ a + \frac{100}{a - 1} $ 的最小值为21,此时 $ a = $11。

答案： 解析:由于a＞1,所以a-1＞0,所以a+100/(a-1)=a-1+100/(a-1)+1≥2√[(a-1)·100/(a-1)]+1=21,当且仅当a-1=100/(a-1),即a=11时,等号成立.所以a+100/(a-1)的最小值为21,此时a=11.答案:21 11

4. (2025·宿迁期中)古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 $ ABC $ 的斜边 $ BC $,直角边 $ AB $,$ AC $。若以斜边 $ BC $ 为直径的半圆弧长为 $ 2\pi $,则 $ \triangle ABC $ 周长的最大值为 4+4√2。

答案： 解析:设BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c＞0,以斜边BC为直径的半圆弧长为2π,则1/2πa=2π,所以a=4,因为△ABC为直角三角形,所以a²=b²+c²,即b²+c²=16,则(b+c/2)²≤(b²+c²)/2=8,即b+c≤4√2,当且仅当b=c=2√2时,等号成立,则a+b+c≤4+4√2,即△ABC周长的最大值为4+4√2.答案:4+4√2

[典例] (2025·福州期中)当 $ x ＞ 0 $,$ y ＞ 0 $ 时,$ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq \frac{m}{x + y} $,则实数 $ m $ 的最大值为 (9)
A.9
B.8
C.4
D.1

答案： 【解析】因为当x＞0,y＞0时,1/x+4/y≥m/(x+y),可得(x+y)(1/x+4/y)≥m,又因为(x+y)(1/x+4/y)=y/x+4x/y+5≥2√(y/x·4x/y)+5=9,当且仅当y/x=4x/y,即y=2x时,等号成立,可得m≤9,所以实数m的最大值为9.【答案】A