《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

(1)已知$x$,$y$为正实数,则$\frac{y}{x} + \frac{16x}{2x + y}$的最小值为(A)
A.6
B.5
C.4
D.3

答案： A

(2)已知$a$,$b \in \mathbf{R}^+$,且$ab + 2a + b - 3 = 0$,则$a + b$的最小值为(C)
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$2\sqrt{5} - 3$
D.$2\sqrt{6} - 3$

答案： C

(3)已知正数$a$,$b满足a + b = 3$,则$\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$。

答案： $\frac{9}{4}$

[例 4] 某厂要建一个长方体形的露天蓄水池,其蓄水量为$200m^3$,高为$xm$,底面一条边长为$5m$,施工方给的造价：$4个侧面造价为100元/m^2$,底面造价为$80元/m^2$。
(1)设此蓄水池的总造价为$y$元,求$y关于x$的函数关系式；
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,给出具体的数据参考。
(1)$y=\frac{16000}{x}+1000x+8000,x＞0$
(2)当蓄水池的高为4m,底面长宽分别为10m和5m时,总造价最低

答案：
(1)$y=\frac{16000}{x}+1000x+8000,x＞0$
(2)当蓄水池的高为4m,底面长宽分别为10m和5m时,总造价最低

(1)为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加入药品后池水中该药品的浓度$C$(单位：$mg/L$)随时间$t$(单位：$h$)的变化关系为$C = \frac{20t}{t^2 + 4}$,则池水中药品的浓度达到最大需经过(B)
A.$1h$
B.$2h$
C.$4h$
D.$5h$

答案： B

(2)为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,每条生产线生产的产品可获得的利润$S$(单位：万元)与生产线运转时间$t$(单位：年)满足二次函数关系：$S = -2t^2 + 54t - 72$,则该新生产线年平均利润最大为30万元。

答案： 30