《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 积、商的对数可以化为对数的和、差。(√)
(2) $\log_{a}(xy)= \log_{a}x\cdot\log_{a}y(x,y＞0)$。(×)
(3) $\log_{2}(-5)^{2}= 2\log_{2}(-5)$。(×)
(4) $\log_{a}\frac{x}{y}= \log_{a}x-\log_{a}y(a＞0$ 且 $a\neq1$,$x$,$y＞0)$。(√)

答案：
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√

2. 若 $\lg2-\lg m = 1$,则 $m= $ ($\frac{1}{5}$)
A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\sqrt{5}$
D.$5$

答案： 解析:选 B.由$\lg2-\lg m=1$,得$\lg\frac{2}{m}=$
$\lg10$,即$\frac{2}{m}=10$,解得$m=\frac{1}{5}$.

3. (对接教材例 3) 计算：(1) $\frac{1}{2}\log_{3}12-\log_{3}2= $ $\underline{ }$；
(2) $\lg25+\frac{2}{3}\lg8+\lg5×\lg20+(\lg2)^{2}= $ $\underline{ }$。

答案：
(1)$\frac{1}{2}$
(2)3

4. (对接教材例 4) 已知 $A= \log_{a}x$,$B= \log_{a}y$,$C= \log_{a}z(a＞0$ 且 $a\neq1)$。用 $A$,$B$ 及 $C$ 表示下列各式：
(1) $\log_{a}(xy^{2})$；
(2) $\log_{a}\frac{xy}{\sqrt{z}}$；
(3) $\log_{a}(x^{2}y^{2})+\log_{a}(y\sqrt{x})$。
(1)$\log_{a}(xy^{2})=\log_{a}x+\log_{a}y^{2}=$$\log_{a}x+2\log_{a}y=A+2B$.
(2)$\log_{a}\frac{xy}{\sqrt{z}}=\log_{a}x+\log_{a}y-\log_{a}\sqrt{z}=$$\log_{a}x+\log_{a}y-\frac{1}{2}\log_{a}z=A+B-\frac{C}{2}$.
(3)$\log_{a}(x^{2}y^{2})+\log_{a}(y\sqrt{x})=\log_{a}x^{2}+$$\log_{a}y^{2}+\log_{a}y+\log_{a}\sqrt{x}=2\log_{a}x+$$2\log_{a}y+\log_{a}y+\frac{1}{2}\log_{a}x=\frac{5}{2}\log_{a}x+$$3\log_{a}y=\frac{5}{2}A+3B$.

答案：
(1)$\log_{a}(xy^{2})=\log_{a}x+\log_{a}y^{2}=$
$\log_{a}x+2\log_{a}y=A+2B$.
(2)$\log_{a}\frac{xy}{\sqrt{z}}=\log_{a}x+\log_{a}y-\log_{a}\sqrt{z}=$
$\log_{a}x+\log_{a}y-\frac{1}{2}\log_{a}z=A+B-\frac{C}{2}$.
(3)$\log_{a}(x^{2}y^{2})+\log_{a}(y\sqrt{x})=\log_{a}x^{2}+$
$\log_{a}y^{2}+\log_{a}y+\log_{a}\sqrt{x}=2\log_{a}x+$
$2\log_{a}y+\log_{a}y+\frac{1}{2}\log_{a}x=\frac{5}{2}\log_{a}x+$
$3\log_{a}y=\frac{5}{2}A+3B$.

二 对数的换底公式
思考 假设 $\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}= x$,则 $\log_{2}5= x\log_{2}3$,即 $\log_{2}5= \log_{2}3^{x}$,从而有 $3^{x}= 5$,再将此式化为对数式可得到什么结论？
提示 $x=\log_{3}5$,从而$x=\frac{\log_{a}5}{\log_{a}3}$
$=\log_{3}5$.

答案： 提示 $x=\log_{3}5$,从而$x=\frac{\log_{a}5}{\log_{a}3}$
$=\log_{3}5$.

例 1 化简下列各式：
(1) $\log_{3}7×\log_{7}11×\log_{11}17×\log_{17}25$；
(2) $(\log_{2}3+\log_{4}3)×(\log_{3}4+\log_{27}32-\log_{3}2)$。
(1)$\log_{3}7×\log_{7}11×\log_{11}17×\log_{17}25=\frac{\lg7}{\lg3}×\frac{\lg11}{\lg7}×\frac{\lg17}{\lg11}×\frac{2\lg5}{\lg17}=2$
(2)原式$=(\log_{2}3+\frac{1}{2}\log_{2}3)×(2\log_{3}2+\frac{5}{3}\log_{3}2-\log_{3}2)=\frac{3}{2}\log_{2}3×\frac{8}{3}\log_{3}2=4$

答案：
(1)$\log_{5}7×\log_{7}11×\log_{11}17×$
$\log_{17}25=\frac{\lg7}{\lg5}×\frac{\lg11}{\lg7}×\frac{\lg17}{\lg11}×\frac{2\lg5}{\lg17}=2$.
(2)原式$=(\log_{3}3+\frac{1}{2}\log_{3}3)×(2\log_{2}2+$
$\frac{5}{3}\log_{2}2-\log_{2}2)=\frac{3}{2}\log_{3}3×\frac{8}{3}\log_{2}2$
$=4$.