《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

二 弧度与角度的互化
思考 1 用角度制和弧度制如何表示零角？
提示 角度制表示为$0^{\circ}$,弧度制表示为0.

答案： 提示 角度制表示为$0^{\circ}$,弧度制表示为0.

思考 2 用角度制和弧度制如何表示周角？
角度制表示为$360^{\circ}$,弧度制表示为$2\pi\ rad$

答案： 提示 角度制表示为$360^{\circ}$,弧度制表示为$2\pi\ rad$.

答案： ①$2\pi$；②$360^{\circ}$；③$\pi$；④$180^{\circ}$

[例 1](多选)下列角度与弧度互化正确的是(BCD)
A.$ \frac{511}{6}\pi = 1530° $
B.$ -\frac{7\pi}{12} = -105° $
C.$ 10° = \frac{\pi}{18} $
D.$ -855° = -\frac{19\pi}{4} $

答案： 【解析】对于A,$\frac{511}{6}\pi=\frac{511}{6}×180^{\circ}=15330^{\circ}$,故A错误;对于B,$-\frac{7\pi}{12}=-\frac{7}{12}×180^{\circ}=-105^{\circ}$,故B正确;对于C,$10^{\circ}=10×\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{18}$,故C正确;对于D,$-855^{\circ}=-855×\frac{\pi}{180}=-\frac{19\pi}{4}$,故D正确.【答案】BCD

(1) 将 $ 52°30' $ 化为弧度是(A)
A. $ \frac{7\pi}{24} $
B. $ \frac{7\pi}{25} $
C. $ \frac{7\pi}{12} $
D. $ \frac{7\pi}{52} $
(2) 将 $ -\frac{11\pi}{5} \ rad $ 化为度是 $-396^{\circ}$。

答案：
(1)解析:选A.$52^{\circ}30'=\frac{105}{2}×\frac{\pi}{180}\ rad=\frac{7\pi}{24}\ rad$.
(2)解析:$-\frac{11\pi}{5}\ rad=-\frac{11\pi}{5}×\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=-396^{\circ}$. 答案:$-396^{\circ}$

(1) 用弧度制表示与 $ 150° $ 角的终边相同的角的集合为(D)
A.$ \{\beta | \beta = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\} $
B.$ \{\beta | \beta = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 360°, k \in \mathbf{Z}\} $
C.$ \{\beta | \beta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\} $
D.$ \{\beta | \beta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\} $

答案： 【解析】
(1)因为$150^{\circ}=150×\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$,且角度和弧度不能在一个集合中同时使用,故与$150^{\circ}$角的终边相同的角的集合为$\left\{\beta\mid\beta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\right\}$.【答案】D

(2) 用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角 $ \theta $ 的集合是 $\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{3\pi}{4}\right],k\in\mathbf{Z}$。

答案： 【解析】
(2)由题图,终边OB对应角为$2k\pi-\frac{\pi}{6}$,$k\in\mathbf{Z}$,终边OA对应角为$2k\pi+\frac{3\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$,所以终边落在题图中阴影部分角$\theta$的集合是$\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{3\pi}{4}\right],k\in\mathbf{Z}$.【答案】$\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{3\pi}{4}\right],k\in\mathbf{Z}$

(1) 与 $ \frac{15\pi}{4} $ 终边重合的最小正角是 $\frac{7\pi}{4}$。
(2) 若角 $ \alpha $ 的终边落在如图所示的阴影部分内,则角 $ \alpha $ 的取值范围是 $\left[2k\pi+\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{7\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$。

答案：
(1)解析:因为与$\frac{15\pi}{4}$终边相同的角为$\frac{15\pi}{4}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$,当$k=-1$时,$\frac{15\pi}{4}+2k\pi$取得最小正角$\frac{15\pi}{4}-2\pi=\frac{7\pi}{4}$. 答案:$\frac{7\pi}{4}$
(2)解析:阴影部分的两条边界分别是$\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6}$角的终边,所以角$\alpha$的取值范围是$\left[2k\pi+\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{7\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$. 答案:$\left[2k\pi+\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{7\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$