《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例 2] 某公司投资 5 万元,成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品,并投入资金 15 万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为 4 元,在销售过程中发现：当销售单价定为 10 元时,年销售量为 2 万件；销售单价每增加 1 元,年销售量将减少 0.1 万件。设销售单价为 x(x≥10)元。第一年获利 y 万元。(年获利= 年销售额 - 生产成本 - 投资)
(1)试写出 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售,第二年获利不低于 11.3 万元。请问第二年的销售单价应定在什么范围内？
[解] （1）依题意，年销量为2 - 0.1(x - 10) = 3 - 0.1x(万件)，
所以y = (3 - 0.1x)(x - 4) - 5 - 15 = -0.1x² + 3.4x - 32，10 ≤ x ≤ 30。
（2）由（1）知，y = -0.1(x - 17)² - 3.1，当x = 17时，y_max = -3.1，
即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差3.1万元就可收回全部投资。
设第二年的销售单价应定x元，年获利w万元，w = (3 - 0.1x)(x - 4) - 3.1 = -0.1x² + 3.4x - 15.1，10 ≤ x ≤ 30，而w ≥ 11.3，即 -0.1x² + 3.4x - 15.1 ≥ 11.3，整理得x² - 34x + 264 ≤ 0，解得12 ≤ x ≤ 22，所以第二年销售单价的范围是12 ≤ x ≤ 22。

答案： [解] （1）依题意，年销量为2 - 0.1(x - 10) = 3 - 0.1x(万件)，
所以y = (3 - 0.1x)(x - 4) - 5 - 15 = -0.1x² + 3.4x - 32，10 ≤ x ≤ 30。
（2）由（1）知，y = -0.1(x - 17)² - 3.1，当x = 17时，y_max = -3.1，
即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差3.1万元就可收回全部投资。
设第二年的销售单价应定x元，年获利w万元，w = (3 - 0.1x)(x - 4) - 3.1 = -0.1x² + 3.4x - 15.1，10 ≤ x ≤ 30，而w ≥ 11.3，即 -0.1x² + 3.4x - 15.1 ≥ 11.3，整理得x² - 34x + 264 ≤ 0，解得12 ≤ x ≤ 22，所以第二年销售单价的范围是12 ≤ x ≤ 22。

[跟踪训练 2] 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为边 AB 上的一点,EB = a(0 ＜ a ＜ 2)。F 为线段 ED 上的一点,FG⊥BC,垂足为 G,FH⊥CD,垂足为 H。设 FG = x,求：

(1)矩形 FGCH 的面积 S 关于 x 的函数解析式及其定义域；
(2)矩形 FGCH 的面积 S 的最大值。
（1）解：如图，作EM⊥CD，交CD于点M，交FG于点N，
因为EB = a，FG = x，所以DM = 2 - a，DH = 2 - x，由EM⊥CD得到EM//FH，所以△EMD∽△FHD，所以DH/DM = FH/EM，故(2 - x)/(2 - a) = FH/2，解得FH = (4 - 2x)/(2 - a)。
所以S = x·(4 - 2x)/(2 - a) = -2/(2 - a)(x - 1)² + 2/(2 - a)，定义域为（a ＜ x ＜ 2）。
（2）设S = f(x)，由二次函数性质得当0 ＜ a ＜ 1时，f(x)在[a, 1)上单调递增，在(1, 2)上单调递减，所以当x = 1时，S_max = 2/(2 - a)；当1 ≤ a ＜ 2时，f(x)在[a, 2)上单调递减，当x = a时，S_max = 2a。综上当0 ＜ a ＜ 1时，S_max = 2/(2 - a)，当1 ≤ a ＜ 2时，S_max = 2a。

答案： 解：（1）如图，作EM⊥CD，交CD于点M，交FG于点N，
因为EB = a，FG = x，所以DM = 2 - a，DH = 2 - x，由EM⊥CD得到EM//FH，所以△EMD∽△FHD，所以DH/DM = FH/EM，故(2 - x)/(2 - a) = FH/2，解得FH = (4 - 2x)/(2 - a)。
所以S = x·(4 - 2x)/(2 - a) = -2/(2 - a)(x - 1)² + 2/(2 - a)，a ＜ x ＜ 2。
（2）设S = f(x)，由二次函数性质得当0 ＜ a ＜ 1时，f(x)在[a, 1)上单调递增，在(1, 2)上单调递减，所以当x = 1时，S_max = 2/(2 - a)；当1 ≤ a ＜ 2时，f(x)在[a, 2)上单调递减，当x = a时，S_max = 2a。综上当0 ＜ a ＜ 1时，S_max = 2/(2 - a)，当1 ≤ a ＜ 2时，S_max = 2a。

三 幂函数模型
[例 3](多选)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量 v(单位：$cm^3/s)$与管道的半径 r(单位：cm)的四次方成正比,当气体在半径为 5 cm 的管道中时,流量为$ 1250 cm^3/s,$则(AC)
A.当气体在半径为 3 cm 的管道中时,流量为$ 162 cm^3/s $
B.当气体在半径为 3 cm 的管道中时,流量为$ 152 cm^3/s $
C.要使得气体流量不小于$ 512 cm^3/s,$管道半径的最小值为 4 cm
D.要使得气体流量不小于$ 512 cm^3/s,$管道半径的最小值为 3√2 cm

答案： [解析] 依题意可设v = kr³，k ＞ 0。
当气体在半径为5 cm的管道中时，流量为1250 cm³/s，所以1250 = k×5³，解得k = 2，则v = 2r³。当r = 3时，v = 162，故A正确，B错误；由2r³ ≥ 512，解得r ≥ 4，故C正确，D错误。
答案：AC