《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例 1] 解下列不等式：
(1)$\frac{2 - x}{x + 4} \geq 0$；
(2)$\frac{2x + 1}{x - 2} ＜ 1$。
【解】（1）因为$\frac{2-x}{x+4} \geqslant 0$，所以$\frac{x-2}{x+4} \leqslant 0$，等价于$\begin{cases} (x-2)(x+4) \leqslant 0, \\ x+4 \neq 0, \end{cases}$解得$-4 ＜ x \leqslant 2$，所以原不等式的解集为$\{x \mid -4 ＜ x \leqslant 2\}$。
（2）移项得$\frac{2x+1}{x-2} - 1 ＜ 0$，通分化简得到分式不等式$\frac{x+3}{x-2} ＜ 0$，等价于$(x+3)(x - 2) ＜ 0$，解得$-3 ＜ x ＜ 2$。所以原不等式的解集为$\{x \mid -3 ＜ x ＜ 2\}$。

答案： 【解】（1）因为$\frac{2-x}{x+4} \geqslant 0$，所以$\frac{x-2}{x+4} \leqslant 0$，等价于$\begin{cases} (x-2)(x+4) \leqslant 0, \\ x+4 \neq 0, \end{cases}$解得$-4 ＜ x \leqslant 2$，所以原不等式的解集为$\{x \mid -4 ＜ x \leqslant 2\}$。
（2）移项得$\frac{2x+1}{x-2} - 1 ＜ 0$，通分化简得到分式不等式$\frac{x+3}{x-2} ＜ 0$，等价于$(x+3)(x - 2) ＜ 0$，解得$-3 ＜ x ＜ 2$。所以原不等式的解集为$\{x \mid -3 ＜ x ＜ 2\}$。

[跟踪训练 1] (1) 不等式$\frac{2x + 1}{x - 1} ＞ 0$的解集是$\left\{x \mid x ＞ 1, 或 x ＜ -\frac{1}{2}\right\}$。
(2)已知关于$x的不等式\frac{ax - 1}{x - a} \leq 0的解集为A$。若$3 \in A$,$4 \notin A$,则$a$的取值范围是$\frac{1}{4} ＜ a \leqslant \frac{1}{3}$或$3 ＜ a \leqslant 4$。

答案： （1）解析：因为$\frac{2x+1}{x-1} ＞ 0$等价于$(2x+1)(x - 1) ＞ 0$，解得$x ＞ 1$或$x ＜ -\frac{1}{2}$，所以不等式$\frac{2x+1}{x-1} ＞ 0$的解集是$\left\{x \mid x ＞ 1, 或 x ＜ -\frac{1}{2}\right\}$。
答案：$\left\{x \mid x ＞ 1, 或 x ＜ -\frac{1}{2}\right\}$
（2）解析：由$3 \in A$，得$\frac{3a - 1}{3 - a} \leqslant 0$，即$\begin{cases} (3a - 1)(3 - a) \leqslant 0, \\ 3 - a \neq 0, \end{cases}$解得$a \leqslant \frac{1}{3}$或$a ＞ 3$。又$4 \notin A$，所以$\frac{4a - 1}{4 - a} ＞ 0$或$4 - a = 0$，即$(4a - 1)(4 - a) ＞ 0$或$a = 4$，解得$\frac{1}{4} ＜ a \leqslant 4$。综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{4} ＜ a \leqslant \frac{1}{3}$或$3 ＜ a \leqslant 4$。
答案：$\frac{1}{4} ＜ a \leqslant \frac{1}{3}$或$3 ＜ a \leqslant 4$

[例 2] 若关于$x的一元二次不等式ax^{2} + bx + c ＜ 0的解集为\{x|x ＜ \frac{1}{3}$,或$x ＞ \frac{1}{2}\}$,求关于$x的不等式cx^{2} - bx + a ＞ 0$的解集。
【解】方法一：由题意知$\begin{cases} a ＜ 0, \\ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{b}{a}, \\ \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{c}{a}, \end{cases}$所以$\begin{cases} a ＜ 0, \\ b = -\frac{5}{6}a ＞ 0, \\ c = \frac{1}{6}a ＜ 0. \end{cases}$代入不等式$cx^2 - bx + a ＞ 0$中得$\frac{1}{6}ax^2 + \frac{5}{6}ax + a ＞ 0(a ＜ 0)$，即$\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 1 ＜ 0$，化简得$x^2 + 5x + 6 ＜ 0$，解得$-3 ＜ x ＜ -2$。所以所求不等式的解集为$\{x \mid -3 ＜ x ＜ -2\}$。
方法二：由题意得方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根分别为$\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$，且$a ＜ 0$，所以$-\frac{b}{a} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$，由$cx^2 - bx + a ＞ 0$得$\frac{c}{a}x^2 - \frac{b}{a}x + 1 ＜ 0$，即$\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 1 ＜ 0$，即$x^2 + 5x + 6 ＜ 0$，解得$-3 ＜ x ＜ -2$，所以所求不等式的解集为$\{x \mid -3 ＜ x ＜ -2\}$。
母题探究 若将本例中“$\{x|x ＜ \frac{1}{3}$,或$x ＞ \frac{1}{2}\}$”改为“$\{x|\frac{1}{3} ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$”,其他条件不变,如何求解？
解：由题意知$\begin{cases} a ＞ 0, \\ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{b}{a}, \\ \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{c}{a}, \end{cases}$所以$\begin{cases} a ＞ 0, \\ b = -\frac{5}{6}a ＜ 0, \\ c = \frac{1}{6}a ＞ 0. \end{cases}$代入不等式$cx^2 - bx + a ＞ 0$，得$\frac{1}{6}ax^2 + \frac{5}{6}ax + a ＞ 0(a ＞ 0)$，即$\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 1 ＞ 0$，化简得$x^2 + 5x + 6 ＞ 0$，解得$x ＞ -2$或$x ＜ -3$。所以所求不等式的解集为$\{x \mid x ＞ -2, 或 x ＜ -3\}$。

答案： 【解】方法一：由题意知$\begin{cases} a ＜ 0, \\ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{b}{a}, \\ \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{c}{a}, \end{cases}$所以$\begin{cases} a ＜ 0, \\ b = -\frac{5}{6}a ＞ 0, \\ c = \frac{1}{6}a ＜ 0. \end{cases}$代入不等式$cx^2 - bx + a ＞ 0$中得$\frac{1}{6}ax^2 + \frac{5}{6}ax + a ＞ 0(a ＜ 0)$，即$\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 1 ＜ 0$，化简得$x^2 + 5x + 6 ＜ 0$，解得$-3 ＜ x ＜ -2$。所以所求不等式的解集为$\{x \mid -3 ＜ x ＜ -2\}$。
方法二：由题意得方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根分别为$\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$，且$a ＜ 0$，所以$-\frac{b}{a} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$，由$cx^2 - bx + a ＞ 0$得$\frac{c}{a}x^2 - \frac{b}{a}x + 1 ＜ 0$，即$\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 1 ＜ 0$，即$x^2 + 5x + 6 ＜ 0$，解得$-3 ＜ x ＜ -2$，所以所求不等式的解集为$\{x \mid -3 ＜ x ＜ -2\}$。
[母题探究] 解：由题意知$\begin{cases} a ＞ 0, \\ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{b}{a}, \\ \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{c}{a}, \end{cases}$所以$\begin{cases} a ＞ 0, \\ b = -\frac{5}{6}a ＜ 0, \\ c = \frac{1}{6}a ＞ 0. \end{cases}$代入不等式$cx^2 - bx + a ＞ 0$，得$\frac{1}{6}ax^2 + \frac{5}{6}ax + a ＞ 0(a ＞ 0)$，即$\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x + 1 ＞ 0$，化简得$x^2 + 5x + 6 ＞ 0$，解得$x ＞ -2$或$x ＜ -3$。所以所求不等式的解集为$\{x \mid x ＞ -2, 或 x ＜ -3\}$。