《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合 $A = \{x|x = 3k,k \in \mathbf{Z}\}$,$B = \{x|x = 6k,k \in \mathbf{Z}\}$,则 $A$ 与 $B$ 之间的关系是 (D)
A.$A \subseteq B$
B.$A = B$
C.$A \supsetneqq B$
D.$B \supsetneqq A$

答案： 选D.因为A={x|x=3k,k∈Z}，B={x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z}，所以B⫋A.

2. 若集合 $A = \{x|(a - 1)x^{2}+3x - 2 = 0\}$ 有且仅有 $1$ 个子集,则 $a$ 的值可以为 (C)
A.$1$
B.$\frac{1}{8}$
C.$-1$
D.$-\frac{1}{8}$

答案： 选C.由集合A有且仅有1个子集可知，A是∅，当a=1时，A=23,不符合题意；当a≠1时，由Δ=9+8(a-1)＜0可得a＜-18,结合选项可知，C符合题意.

3. 已知非空集合 $S \subseteq \{1,2,3,4,5\}$,并且 $S$ 中的元素满足条件：如果 $a \in S$,则 $6 - a \in S$,适合上述条件的集合 $S$ 的个数是7。

答案： 由题意，令b=6-a，则原问题等价于：如果a∈S,b∈S，则a+b=6.根据集合元素的互异性与无序性，集合S可以是：{3}或{1,5}或{2,4}或{1,3,5}或{2,3,4}或{1,2,4,5}或{1,2,3,4,5}.故适合条件的集合S有7个.答案：7

4. 已知集合 $A = \left\{x\left|\begin{array}{l}3x + 6 ＞ 0,\\2x - 10 ＜ 0\end{array} \right.\right\}$,$B = \{x|m + 1 \leqslant x \leqslant 2m - 1\}$,若 $B \subseteq A$,则实数 $m$ 的取值范围为{m|m＜3}。

答案： 由3x+6＞02x-10＜0,解得-2＜x＜5，所以A={x|-2＜x＜5}，且B⊆A，当B=∅时，符合B⊆A，则m+1＞2m-1，解得m＜2；当B≠∅时，要使B⊆A，则m+1≤2m-1m+1＞-22m-1＜5,解得2≤m＜3，综上所述，实数m的取值范围为{m|m＜3}.答案：{m|m＜3}

1. (2024·新课标Ⅰ卷)已知集合 $A = \{x|-5 ＜ x^{3} ＜ 5\}$,$B = \{-3,-1,0,2,3\}$,则 $A \cap B = $({-1,0})
A.$\{-1,0\}$
B.$\{2,3\}$
C.$\{-3,-1,0\}$
D.$\{-1,0,2\}$

答案： 选A.因为A={x|-53＜x＜53},B={-3,-1,0,2,3}，且注意到1＜5＜2，从而A∩B={-1,0}.

2. 已知集合 $A = \{x|-3 ＜ x ＜ 4\}$,$B = \{x|3 ＜ x ＜ 5\}$,则 $\{x|4 \leqslant x ＜ 5\}= $ (D)
A.$A \cap (\complement_{\mathbf{R}}B)$
B.$\complement_{\mathbf{R}}(A \cap B)$
C.$(\complement_{\mathbf{R}}A) \cup B$
D.$(\complement_{\mathbf{R}}A) \cap B$

答案： 选D.由题得A={x|-3＜x＜4},B={x|3＜x＜5},A∩B={x|3＜x＜4},∁RA={x|x≥4或x≤-3},∁RB={x|x≥5或x≤3}，所以A∩(∁RB)={x|-3＜x≤3}，故A错误；∁R(A∩B)={x|x≥4或x≤3}，故B错误；(∁RA)∪B={x|x≤-3或x＞3}，故C错误；(∁RA)∩B={x|4≤x＜5}，故D正确.

3. 已知集合 $A = \{x|1 ＜ x ＜ 2\}$,集合 $B = \{x|x ＞ m\}$,若 $A \cap (\complement_{\mathbf{R}}B)= \varnothing$,则 $m$ 的取值范围为$m \leq 1$。

答案： 因为集合B={x|x＞m}，所以∁RB={x|x≤m}，由于A∩(∁RB)=∅，所以m≤1.答案：m≤1

4. 若集合 $A = \{x|x^{2}+ax + b = 0\}$,$B = \{x|x^{2}+cx + 6 = 0\}$,$A \cap B = \{2\}$,$A \cup B = B$,则 $a + b + c= $-5。

答案： 由A∩B={2}，得2∈B，则4+2c+6=0，解得c=-5，B={x|x²-5x+6=0}={2,3}，又A∪B=B，则A⊆B，结合A∩B={2}，得A={2}.因此，方程x²+ax+b=0有等根2，则-a=2+2,b=2×2，即a=-4,b=4，所以a+b+c=-5.答案：-5

[典例] (1) 若 $x \in A$,则 $-x \in A$,就称 $A$ 是“伙伴关系”集合,集合 $M = \{-2,-1,0,1,2,3\}$ 的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是 (B)
A.$31$
B.$7$
C.$3$
D.$1$

答案： 若x=-2，则-x=2；若x=-1，则-x=1；若x=0，则-x=0；若x=2，则-x=-2.则{-2,2},{-1,1},{0},{-2,2,0},{-1,1,0},{-2,2,-1,1},{-2,2,0,-1,1}为“伙伴关系”集合，共7个.答案：B

(2) (2025·成都期中)对于集合 $A,B$,我们把集合 $\{x|x \in A,$ 且 $x \notin B\}$ 叫做集合 $A$ 与 $B$ 的差集,记作 $A - B$,若 $A = \{3,|a|\}$,$B = \{a,1\}$,$A \cup B = \{1,2,3,-2\}$,则 $B - A= ${-2,1}。

答案： 因为A={3,|a|},B={a,1},A∪B={1,2,3,-2}，所以|a|≠a，即a＜0，所以a=-2，所以A={3,2},B={-2,1}，所以B-A={-2,1}.答案：{-2,1}

[跟踪训练] (1) (多选)当一个非空数集 $G$ 满足“如果 $a,b \in G$,则 $a + b,a - b,ab \in G$,且 $b \neq 0$ 时,$\frac{a}{b} \in G$”时,我们称 $G$ 就是一个数域,以下四个关于数域的命题,正确的是 (ABD)
A.$0$ 是任何数域的元素
B.若数域 $G$ 有非零元素,则 $2025 \in G$
C.集合 $P = \{x|x = 2k,k \in \mathbf{Z}\}$ 是一个数域
D.有理数集是一个数域

答案： 选ABD.对于A，根据当a∈G，则-a∈G，即0∈G，所以0是任何数域的元素，故A正确；对于B，根据当b≠0时，b∈G，则bb=1∈G，进而1+1=2∈G，2+1=3∈G，…，2024+1=2025∈G，故B正确；对于C，对2∈P，4∈P，但42=12∉P，不满足题意，所以集合P={x|x=2k,k∈Z}不是一个数域，故C不正确；对于D，若a,b是有理数，则a+b,a-b,ab,ab(b≠0)都是有理数，故有理数集是一个数域，所以D正确.

(2) 设集合 $A = \{-1,0\}$,集合 $B = \{x \in \mathbf{N}|0 \leqslant x ＜ a\}$,若 $B$ 中恰有 $2$ 个元素,且定义 $A * B = \{(x,y)|x \in A \cap B,y \in A \cup B\}$,则 $A * B$ 的子集个数是8。

答案： 因为集合B={x∈N|0≤x＜a}且B中恰有2个元素，则1＜a≤2，所以B={0,1}，又A={-1,0}，所以A∩B={0},A∪B={-1,0,1}，又A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B}，所以A*B={(0,-1),(0,0),(0,1)}，所以A*B的子集有2³=8个.答案：8