《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 集合 $ \{x\mid -1 ＜ x \leq 5\} $ 用区间可表示为 (C)
A.$ (-1,5) $
B.$ [-1,5] $
C.$ (-1,5] $
D.$ [-1,5) $

答案： C

2. (多选)(教材 $ P_{72} $ 习题 $ 3.1T_{2} $ 改编) 下列四组函数中,表示同一个函数的是 (ABC)
A.$ f(x) = x^{2} + 1 $,$ g(t) = t^{2} + 1 $
B.$ f(x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{1 - x} $,$ g(x) = \sqrt{1 - x^{2}} $
C.$ f(x) = |x| $,$ g(x) = \sqrt{x^{2}} $
D.$ y = x $,$ y = \frac{x^{2}}{x} $

答案： ABC

3. 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [1,5] $,则 $ f(\sqrt{x} + 1) $ 的定义域为 [0,16]。

答案： $[0,16]$

4. (教材 $ P_{72}T_{3} $ 改编) 求下列函数的定义域、值域。
(1) $ f(x) = \frac{5x + 4}{x - 2} $；
(2) $ f(x) = 2x + 4\sqrt{1 - x} $；
(3) $ y = \sqrt{-2x^{2} + x + 3} $。
(1) 定义域：要使函数有意义，分母不为零，即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$，故定义域为$(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$。
值域：$f(x) = \frac{5x + 4}{x - 2} = 5 + \frac{14}{x - 2}$，由于$\frac{14}{x - 2} \neq 0$，则$f(x) \neq 5$，故值域为$(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$。
(2) 定义域：根号下非负，即$1 - x \geq 0$，解得$x \leq 1$，故定义域为$(-\infty, 1]$。
值域：设$t = \sqrt{1 - x}(t \geq 0)$，则$x = 1 - t^2$，代入得$f(t) = -2t^2 + 4t + 2$，其对称轴为$t = 1$，开口向下，当$t = 1$时，$f(t)_{max} = 4$，故值域为$(-\infty, 4]$。
(3) 定义域：根号下非负，即$-2x^2 + x + 3 \geq 0$，解不等式$2x^2 - x - 3 \leq 0$，得$(2x - 3)(x + 1) \leq 0$，解得$-1 \leq x \leq \frac{3}{2}$，故定义域为$[-1, \frac{3}{2}]$。
值域：令$g(x) = -2x^2 + x + 3$，其对称轴为$x = \frac{1}{4}$，在$[-1, \frac{3}{2}]$上，$g(x)_{max} = g(\frac{1}{4}) = \frac{25}{8}$，$g(x)_{min} = 0$，则$y = \sqrt{g(x)}$的值域为$[0, \frac{5\sqrt{2}}{4}]$。

答案：
(1) 定义域：要使函数有意义，分母不为零，即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$，故定义域为$(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$。
值域：$f(x) = \frac{5x + 4}{x - 2} = 5 + \frac{14}{x - 2}$，由于$\frac{14}{x - 2} \neq 0$，则$f(x) \neq 5$，故值域为$(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$。
(2) 定义域：根号下非负，即$1 - x \geq 0$，解得$x \leq 1$，故定义域为$(-\infty, 1]$。
值域：设$t = \sqrt{1 - x}(t \geq 0)$，则$x = 1 - t^2$，代入得$f(t) = -2t^2 + 4t + 2$，其对称轴为$t = 1$，开口向下，当$t = 1$时，$f(t)_{max} = 4$，故值域为$(-\infty, 4]$。
(3) 定义域：根号下非负，即$-2x^2 + x + 3 \geq 0$，解不等式$2x^2 - x - 3 \leq 0$，得$(2x - 3)(x + 1) \leq 0$，解得$-1 \leq x \leq \frac{3}{2}$，故定义域为$[-1, \frac{3}{2}]$。
值域：令$g(x) = -2x^2 + x + 3$，其对称轴为$x = \frac{1}{4}$，在$[-1, \frac{3}{2}]$上，$g(x)_{max} = g(\frac{1}{4}) = \frac{25}{8}$，$g(x)_{min} = 0$，则$y = \sqrt{g(x)}$的值域为$[0, \frac{5\sqrt{2}}{4}]$。

一 函数的表示法
思考1 在初中我们学习了函数的哪些常用表示方法？解析法、列表法、图象法.

答案： 提示 解析法、列表法、图象法.

思考2 举例说明,任何函数都能用解析法表示吗？不一定，如某人的身高与年龄的关系.

答案： 提示 不一定，如某人的身高与年龄的关系.