《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[典例]
(多选)若 $ x $,$ y $ 满足 $ x^2 + y^2 - xy = 1 $,则(BC)
A.$ x + y \leq 1 $
B.$ x + y \geq -2 $
C.$ x^2 + y^2 \leq 2 $
D.$ x^2 + y^2 \geq 1 $

答案： BC

若正实数 $ a $,$ b $ 满足 $ a^2 + b^2 = m $,则 $ a + b $ 的最大值为(A)
A.$ \sqrt{2m} $
B.$ \sqrt{2}m $
C.$ 2\sqrt{m} $
D.$ 2m $

答案： A

已知 $ a $,$ b $,$ x $,$ y $ 都是正实数,且 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 $,$ x^2 + y^2 = 8 $,则 $ ab $ 与 $ xy $ 的大小关系是ab≥xy。

答案： ab≥xy

1. 已知 $ x ＞ 7 $,则 $ x + \frac{1}{x - 7} $ 的最小值为(B)
A.7
B.9
C.11
D.10

答案： B

2. 已知正数 $ x $,$ y $ 满足 $ x = 2(1 - y) $,则 $ xy $ 的最大值为(B)
A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.1
D.2

答案： B

3. 某工厂一年需要购买某种原材料 100 吨,计划每次购买 $ x $ 吨。若每次的运费为 5000 元,一年的储存费用为 5000$ x $ 元,则每次购买10吨原材料,总费用(运费和储存费之和)最低,且最低的总费用为10万元。

答案： 10 10

4. 已知正数 $ a $,$ b $ 满足 $ a + b = 6 $,$ ab = 9k $。
(1) 求 $ k $ 的最大值；
(2) 求 $ \frac{1}{a} + \frac{4}{b} $ 的最小值。
(1)1；
(2)$\frac{3}{2}$

答案：
(1)1；
(2)$\frac{3}{2}$