《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. (教材$P_{135}T_{2}$改编)已知$a= \log _{0.3}2$,$b= \log _{0.3}3$,$c= \log _{3}2$,则下列结论正确的是(D)
A.$a\lt b\lt c$
B.$b\lt c\lt a$
C.$c\lt a\lt b$
D.$b\lt a\lt c$

答案： [课堂巩固自测] 1.解析:选D.已知$a= \log _{0.3}2$,$b= \log _{0.3}3$,$c= \log _{3}2$,则下列结论正确的是( ) A. $a\lt b\lt c$ B. $b\lt c\lt a$ C. $c\lt a\lt b$ D. $b\lt a\lt c$。解析:选D.因为$0=\log _{3}1＞ a=\log _{0.3}2＞ b=\log _{0.3}3$,$c=\log _{3}2＞\log _{3}1=0$,所以$b＜ a＜ c$.

2. (多选)(教材$P_{135}T_{1}$改编)在同一直角坐标系中,函数$y = a^{x}与y= \log _{a}(x - 2)$的图象可能是(BD)

A.|
B.|
C.|
D.|

答案： 2. (多选)在同一直角坐标系中,函数$y = a^{x}$与$y= \log _{a}(x - 2)$的图象可能是( ) A. | B. | C. | D. |。解析:选BD.对于函数$y=\log _{a}(x-2)$,有$x-2＞0$,可得$x＞2$,函数$y=\log _{a}(x-2)$的定义域为$(2,+\infty )$,当$a＞1$时,函数$y=a^{x}$为$\mathbf{R}$上的增函数,函数$y=\log _{a}(x-2)$在$(2,+\infty )$上为增函数,B合乎要求;当$0＜ a＜1$时,函数$y=a^{x}$为$\mathbf{R}$上的减函数,函数$y=\log _{a}(x-2)$在$(2,+\infty )$上为减函数,D合乎要求.

3. 函数$y= \log _{\frac {1}{7}}x在[1,9]$上的最大值是0。

答案： 3.解析:因为函数$y=\log _{\frac {1}{2}}x$在$[1,9]$上单调递减,故当$x=1$时,函数$y=\log _{\frac {1}{2}}x$取得最大值0.答案:0

4. 解下列关于$x$的不等式：
(1)$\log _{2}x\lt\log _{2}(x^{2} - 3x)$；
(2)$\log _{x}\frac {1}{2}\lt1$($x\gt0且x\neq1$)。
4.解:
(1)由$\log _{2}x＜\log _{2}(x^{2}-3x)$,得$0＜ x＜ x^{2}-3x$,解得$x＞4$,所以不等式的解集为$(4,+\infty )$.
(2)当$x＞1$时,$\log _{x}\dfrac {1}{2}＜\log _{x}x$,解得$x＞\dfrac {1}{2}$,即$x＞1$;当$0＜ x＜1$时,$\log _{x}\dfrac {1}{2}＜\log _{x}x$,解得$x＜\dfrac {1}{2}$,即$0＜ x＜\dfrac {1}{2}$.综上,原不等式的解集为$\left(0,\dfrac {1}{2}\right)\cup (1,+\infty )$.

答案： 4.解:
(1)由$\log _{2}x＜\log _{2}(x^{2}-3x)$,得$0＜ x＜ x^{2}-3x$,解得$x＞4$,所以不等式的解集为$(4,+\infty )$.
(2)当$x＞1$时,$\log _{x}\dfrac {1}{2}＜\log _{x}x$,解得$x＞\dfrac {1}{2}$,即$x＞1$;当$0＜ x＜1$时,$\log _{x}\dfrac {1}{2}＜\log _{x}x$,解得$x＜\dfrac {1}{2}$,即$0＜ x＜\dfrac {1}{2}$.综上,原不等式的解集为$\left(0,\dfrac {1}{2}\right)\cup (1,+\infty )$.

一 对数函数的图象
给出函数$f(x)= 2^{x}与g(x)= \log _{2}x$。
思考1
两个函数的定义域、值域之间有什么关系？
提示 f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域.
思考2
在同一直角坐标系中,两函数的图象有什么关系？
提示 f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称.

答案： 思考1 提示 f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域.
思考2 提示 f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称.

一般地,指数函数$y = a^{x}(a＞0$,且$a\neq1)$与对数函数y=logₐx$(a＞0$,且$a\neq1)$互为反函数,它们的定义域与值域正好互换。

答案： y=logₐx

1. $f(x)= \ln x$的反函数是(B)
A.$y = x^{e}$
B.$y = e^{x}$
C.$y= \log _{x}e$
D.$y = 10^{x}$

答案： 1.解析:选B.根据指数函数与对数函数的关系,可得函数f(x)=ln x的反函数为y=eˣ.

2. 已知函数$y = f(x)与函数y = 10^{x}的图象关于直线y = x$对称,则$f(10)= $(1)
A.$1$
B.$2$
C.$10$
D.$10^{10}$

答案： 2.解析:选A.由题意,函数y=10ˣ的反函数为f(x)=log₁₀x=lg x,则f
(10)=lg 10=1.