《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 已知α与$210^{\circ}$角的终边关于x轴对称,则$\frac{\alpha}{2}$是(B)
A.第二或第四象限角
B.第一或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角

答案： 选B.由α与210°角的终边关于x轴对称,可得α=k·360° - 210°,k∈Z,所以$\frac{\alpha}{2}=k·180° - 105°,k∈Z$,取k = 0,1可确定$\frac{\alpha}{2}$是第一或第三象限角.

2. 如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是(B)


A.$\left\{\alpha \mid \frac{5\pi}{6}+2k\pi \leq \alpha \leq (2k + 1)\pi,k \in \mathbf{Z}\right\}$
B.$\left\{\alpha \mid \frac{5\pi}{6}+k\pi \leq \alpha \leq (k + 1)\pi,k \in \mathbf{Z}\right\}$
C.$\left\{\alpha \mid -\frac{7\pi}{6}+2k\pi \leq \alpha \leq (2k - 1)\pi,k \in \mathbf{Z}\right\}$
D.$\left\{\alpha \mid -\frac{\pi}{6}+2k\pi \leq \alpha \leq 2k\pi,k \in \mathbf{Z}\right\}$

答案： 选B.由题图得终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是$\left\{\alpha\left|\frac{5\pi}{6}+k\pi\leqslant\alpha\leqslant(k + 1)\pi,k∈Z\right.\right\}$.

3. 与$-660^{\circ}$角终边相同的最小正角是60°;最大负角是-300°。

答案： 因为与 - 660°角终边相同的角是 - 660° + k·360°(k∈Z),所以当k = 2时,与 - 660°角终边相同的最小正角是60°.当k = 1时,与 - 660°角终边相同的最大负角是 - 300°.答案:60°　 - 300°

4. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画,某扇面大致为如图所示的扇环,记$\overset{\frown}{AB}的长为l_{1}cm$,$\overset{\frown}{CD}的长为l_{2}= 12cm$,若$l_{1}:l_{2}= 3:1$,$AD = 8cm$,则扇环的面积为______$cm^{2}$。

192

答案： 由题意得,$l_1$ = 36cm,如图,设扇环所在圆的圆心为O,OD = r,∠AOB的弧度数为α,则$\begin{cases}12 = r\alpha\\36 = (r + 8)\alpha\end{cases}$,解得$\begin{cases}r = 4\\\alpha = 3\end{cases}$,则扇环的面积$S=\frac{1}{2}×36×(8 + 4)-\frac{1}{2}×12×4 = 192(cm^2)$.答案:192

1. 已知角α的终边经过点$P(-8,m)$,且$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$,则$\sin \alpha$的值是(A)
A.$\frac{3}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$-\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 选A.由三角函数的定义可得$\tan\alpha=\frac{m}{ - 8}=-\frac{3}{4}$,解得m = 6,所以$\sin\alpha=\frac{6}{\sqrt{(-8)^2 + 6^2}}=\frac{3}{5}$.

2. 若$P(-4,3)$是角α终边上一点,则$\frac{\cos(\alpha - 3\pi)\tan(\alpha - 2\pi)}{\sin^{2}(\pi - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}$的值为$-\frac{25}{9}$。

答案： 因为P( - 4,3)是角α终边上一点,则点P( - 4,3)到原点的距离是$\sqrt{(-4)^2 + 3^2}=5$,所以$\sin\alpha=\frac{3}{5}$,则$\frac{\cos(\alpha - 3\pi)\tan(\alpha - 2\pi)}{\sin^2(\pi - \alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{-\cos\alpha\tan\alpha}{\sin^2\alpha\sin\alpha}=\frac{-\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\sin^2\alpha\sin\alpha}=-\frac{1}{\sin^2\alpha}=-\frac{25}{9}$.答案:$-\frac{25}{9}$

3. 已知$P_{0}(1,\sqrt{3})$是圆心在原点,半径为2的圆上一点,点P从$P_{0}$开始,在圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,角速度为$\frac{\pi}{4}rad/s$,则2s时点P的坐标为$(-\sqrt{3},1)$。

答案： 记点$P_0(1,\sqrt{3})$是角α终边上的一点,则$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1 + 3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1 + 3}}=\frac{1}{2}$,则$\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi(k∈Z)$;经过2s,记点P是角β终边上的一点,由题意$\beta=\alpha+\frac{\pi}{4}×2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi(k∈Z)$,则$x_P=2\cos\beta=-\sqrt{3}$,$y_P=2\sin\beta=1$,即点P的坐标为$(-\sqrt{3},1)$.答案:$(-\sqrt{3},1)$

1. 若$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$,$\alpha$为第四象限角,则$\cos \alpha$的值为(D)
A.$-\frac{4}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 选D.由$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$,$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$可得$\cos^2\alpha=\frac{16}{25}$,可得$\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}$,又α为第四象限角,所以$\cos\alpha＞0$,即$\cos\alpha=\frac{4}{5}$.