《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

2. 已知关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}-b\geq2x - ax(a,b\in\mathbf{R})$。
(1)若不等式的解集为 $\{x|-2\leq x\leq - 1\}$,求 $a$,$b$ 的值；
(2)若 $a＜0$,解不等式 $(ax - 2)(x + 1)\geq0$。
(1)原不等式可化为$ax^{2}+(a-2)x-b\geq0$，由题知，-2，-1是方程$ax^{2}+(a-2)x-b=0$的两根，由根与系数的关系得$\begin{cases}a＜0,\\-\frac{a-2}{a}=-3,\\-\frac{b}{a}=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$
（2）当$a＜0$时，原不等式化为$(x-\frac{2}{a})(x+1)\leq0$，当$\frac{2}{a}＞-1$，即$a＜-2$时，解原不等式可得$-1\leq x\leq\frac{2}{a}$；当$\frac{2}{a}=-1$，即$a=-2$时，原不等式即为$(x+1)^{2}\leq0$，解得$x=-1$；当$\frac{2}{a}＜-1$时，即$-2＜a＜0$时，解原不等式可得$\frac{2}{a}\leq x\leq-1$.综上所述，当$-2＜a＜0$时，不等式的解集为$\{x|\frac{2}{a}\leq x\leq-1\}$；当$a=-2$时，不等式的解集为$\{x|x=-1\}$；当$a＜-2$时，不等式的解集为$\{x|-1\leq x\leq\frac{2}{a}\}$。

答案： 2.解：
(1)原不等式可化为$ax^{2}+(a-2)x-b\geq0$，由题知，-2，-1是方程$ax^{2}+(a-2)x-b=0$的两根，由根与系数的关系得$\begin{cases}a＜0,\\-\frac{a-2}{a}=-3,\\-\frac{b}{a}=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$
（2）当$a＜0$时，原不等式化为$(x-\frac{2}{a})(x+1)\leq0$，当$\frac{2}{a}＞-1$，即$a＜-2$时，解原不等式可得$-1\leq x\leq\frac{2}{a}$；当$\frac{2}{a}=-1$，即$a=-2$时，原不等式即为$(x+1)^{2}\leq0$，解得$x=-1$；当$\frac{2}{a}＜-1$时，即$-2＜a＜0$时，解原不等式可得$\frac{2}{a}\leq x\leq-1$.综上所述，当$-2＜a＜0$时，不等式的解集为$\{x|\frac{2}{a}\leq x\leq-1\}$；当$a=-2$时，不等式的解集为$\{x|x=-1\}$；当$a＜-2$时，不等式的解集为$\{x|-1\leq x\leq\frac{2}{a}\}$.

[例 1] 若关于 $x$ 的不等式: $2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}＜0$ 对 $x\in\mathbf{R}$ 恒成立,求 $k$ 的取值范围。
【解】当$k=0$时，$-\frac{3}{8}＜0$，满足题意；当$k≠0$，则满足$\begin{cases}2k＜0,\\\Delta＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}k＜0,\\k^{2}+3k＜0,\end{cases}$解得$-3＜k＜0$.综上所述，k的取值范围是$-3＜k\leq0$.

答案： 【解】当$k=0$时，$-\frac{3}{8}＜0$，满足题意；当$k≠0$，则满足$\begin{cases}2k＜0,\\\Delta＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}k＜0,\\k^{2}+3k＜0,\end{cases}$解得$-3＜k＜0$.综上所述，k的取值范围是$-3＜k\leq0$.

[跟踪训练 1] 若函数 $y= \sqrt{mx^{2}+4mx + 3}$ 中 $x$ 的取值范围为 $\mathbf{R}$,则 $m$ 的取值范围是$0\leq m\leq\frac{3}{4}$。

答案： 解析：由已知$mx^{2}+4mx+3\geq0$恒成立，当$m=0$时，符合题意；当$m≠0$时，$\begin{cases}m＞0,\\\Delta=16m^{2}-12m\leq0,\end{cases}$解得$0＜m\leq\frac{3}{4}$.综上，$0\leq m\leq\frac{3}{4}$.
答案：$0\leq m\leq\frac{3}{4}$

[例 2] 若当 $0\leq x\leq1$ 时,$-x^{2}+4x + a\geq0$ 恒成立,则实数 $a$ 的取值范围是$a\geq0$。

答案： 【解析】方法一：设$y=-x^{2}+4x+a$，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线$x=2$，当$0\leq x\leq1$时，y随x增大而增大，所以当$0\leq x\leq1$时，一元二次不等式$-x^{2}+4x+a\geq0$恒成立，即当$x=0$时，$y\geq0$，据题意得$-0^{2}+4×0+a\geq0$，解得$a\geq0$.
方法二：当$0\leq x\leq1$时，$-x^{2}+4x+a\geq0$恒成立，即当$0\leq x\leq1$时，$x^{2}-4x-a\leq0$恒成立，设$y=x^{2}-4x-a$，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线$x=2$，当$0\leq x\leq1$时，y随x增大而减小，所以当$0\leq x\leq1$时，一元二次不等式$x^{2}-4x-a\leq0$恒成立，即当$x=0$时，$y\leq0$，据题意得$0^{2}-4×0-a\leq0$，解得$a\geq0$.
【答案】$a\geq0$

[跟踪训练 2] (1)若不等式 $x^{2}-ax + 4\geq0$ 对任意 $x\in\{x|1\leq x\leq3\}$ 恒成立,则实数 $a$ 的取值范围是 (B)
A.$0\leq a\leq4$
B.$a\leq4$
C.$a\geq4$
D.$a\leq5$

答案： 解析：选B.若不等式$x^{2}-ax+4\geq0$对任意$x\in\{x|1\leq x\leq3\}$恒成立，则对任意$x\in\{x|1\leq x\leq3\}$，$a\leq x+\frac{4}{x}$恒成立，而$x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x·\frac{4}{x}}=4$，当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x=2$时取等号，因此$a\leq4$，所以实数a的取值范围是$a\leq4$.

(2)若不等式 $x^{2}-(a + 2)x + 2a\leq0$ 对任意的 $x\in\{x|-1\leq x\leq1\}$ 恒成立,则 $a$ 的取值范围是$a\leq-1$。

答案： 解析：令$y=x^{2}-(a+2)x+2a$，抛物线开口向上，当$-1\leq x\leq1$时，一元二次不等式$x^{2}-(a+2)x+2a\leq0$恒成立，则当$x=-1$时函数值$y\leq0$，且当$x=1$时函数值$y\leq0$.得$\begin{cases}1+(a+2)+2a\leq0,\\1-(a+2)+2a\leq0,\end{cases}$解得$a\leq-1$.
答案：$a\leq-1$