《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

思考 1
“大于 $-2$ 且小于 $2$ 的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？
不能.集合中的元素有无数多个,元素不能完全列举.

答案： 提示 不能.集合中的元素有无数多个,元素不能完全列举.

思考 2
设 $ x $ 为“大于 $-2$ 且小于 $2$ 的实数”构成的集合的元素,$ x $ 有何特征？
$x\in\mathbf{R}$且$-2＜x＜2$

答案： 提示 $x\in\mathbf{R}$且$-2＜x＜2$.

一般地,设 $ A $ 是一个集合,我们把集合 $ A $ 中所有具有共同特征 $ P(x) $ 的元素 $ x $ 所组成的集合表示为$\{ x\in A|P(x)\} $,这种表示集合的方法称为描述法,有时也用冒号或分号代替竖线,写成$\{x \in A : P(x)\}或\{x \in A ; P(x)\}$.

答案： $\{ x\in A|P(x)\} $

用描述法表示下列集合：
(1) 被 $ 3 $ 除余 $ 1 $ 的所有自然数组成的集合；
(2) 比 $ 1 $ 大又比 $ 10 $ 小的所有实数组成的集合；
(3) 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.
(1)被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为$\{ x\in\mathbf{N}|x=3n+1,n\in\mathbf{N}\} $.
(2)比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为$\{ x\in\mathbf{R}|1＜x＜10\} $.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为$\{(x,y)|xy=0\}$.

答案：
(1)被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为$\{ x\in\mathbf{N}|x=3n+1,n\in\mathbf{N}\} $.
(2)比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为$\{ x\in\mathbf{R}|1＜x＜10\} $.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为$\{(x,y)|xy=0\}$.

选择适当方法表示下列集合：
(1) 由不超过 $ 5 $ 的所有自然数组成的集合 $ A $；用列举法表示集合$A=\{ 0,1,2,3,4,5\} $
(2) 不等式 $ 3x + 2 ＞ 5 $ 的解集 $ B $；用描述法表示集合$B=\{ x\in\mathbf{R}|3x+2＞5\} $
(3) 二次函数 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 的图象上所有的点组成的集合 $ D $。用描述法表示集合$D=\{(x,y)|y=x^{2}-2x+3\} $

答案：
(1)用列举法表示集合$A=\{ 0,1,2,3,4,5\} $.
(2)用描述法表示集合$B=\{ x\in\mathbf{R}|3x+2＞5\} $.
(3)用描述法表示集合$D=\{(x,y)|y=x^{2}-2x+3\} $.

已知集合 $ A = \{x|ax^2 + 2x + 1 = 0, a \in \mathbf{R}\}$.
(1) 若 $ 1 \in A $,用列举法表示 $ A $；$\{ 1,-\frac{1}{3}\}$
(2) 当集合 $ A $ 中有且仅有一个元素时,求 $ a $ 的值组成的集合 $ B $；$\{ 0,1\}$
母题探究
在本例条件下,集合 $ A $ 中有两个元素,求实数 $ a $ 的取值范围.(用集合表示)$\{ a\in\mathbf{R}|a＜1$且$a\neq0\}$

答案：
(1)若$1\in A$,则1是方程$ax^{2}+2x+1=0$的实数根,所以$a+2+1=0$,解得$a=-3$,所以方程为$-3x^{2}+2x+1=0$,解得$x=1$或$x=-\frac{1}{3}$,所以$A=\{ 1,-\frac{1}{3}\} $.
(2)当$a=0$时,$2x+1=0$,解得$x=-\frac{1}{2}$,此时$A=\{ -\frac{1}{2}\} $;当$a\neq0$时,若集合A中有且仅有一个元素,则方程$ax^{2}+2x+1=0$有两个相等的实数根,所以$\left\{\begin{array}{l} a\neq0,\\ \Delta=4-4a=0\end{array}\right. $,解得$a=1$,方程为$x^{2}+2x+1=0$,解得$x=-1$,此时$A=\{ -1\} $.综上,当$a=0$或$a=1$时,集合A中有且仅有一个元素,所以$B=\{ 0,1\} $. 母题探究 解:依题意,$a\neq0$,且$\Delta=4-4a＞0$,所以$a＜1$且$a\neq0$,故实数a的取值范围是$\{ a\in\mathbf{R}|a＜1$且$a\neq0\} $.