《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[跟踪训练 3] 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $,且满足对于任意 $ x,y \in \mathbf{R} $,都有 $ f(x + y) = f(x) + f(y) $,且当 $ x \gt 0 $ 时, $ f(x) \lt 0 $,且 $ f(1) = -3 $.
(1)求 $ f(0) $ 与 $ f(3) $ 的值;
(2)判断 $ f(x) $ 的奇偶性;
(3)判断 $ f(x) $ 的单调性,并证明.
(1)求 $ f(0) $ 与 $ f(3) $ 的值；
令 $ x = y = 0 $，则 $ f(0) = f(0) + f(0) $，即 $ f(0) = 0 $，由 $ f(1) = -3 $，得 $ f(2) = 2f(1) = -6 $，$ f(3) = f(1) + f(2) = -9 $.
(2)判断 $ f(x) $ 的奇偶性；
$ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $ 关于原点对称，令 $ y = -x $，则 $ f(0) = f(x) + f(-x) = 0 $，即 $ f(-x) = -f(x) $，可得 $ f(x) $ 为奇函数.
(3)判断 $ f(x) $ 的单调性，并证明.
$ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的减函数. 证明如下：$ \forall x_1, x_2 \in \mathbf{R} $，且 $ x_1 \lt x_2 $，则 $ x_2 - x_1 \gt 0 $，则 $ f(x_2) - f(x_1) = f(x_2) + f(-x_1) = f(x_2 - x_1) $，因为当 $ x \gt 0 $ 时，$ f(x) \lt 0 $，所以 $ f(x_2 - x_1) \lt 0 $，即 $ f(x_2) - f(x_1) \lt 0 $，故 $ f(x_1) \gt f(x_2) $，则 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的减函数.

答案： [跟踪训练 3]
解：
(1)求 f
(0)与 f
(3)的值；
令 x = y = 0，则 f
(0) = f
(0) + f
(0)，即 f
(0) = 0，由 f
(１) = -3，得 f
(2) = 2f
(1) = -6，f
(3) = f
(1) + f
(2) = -9.
(2)判断 f(x)的奇偶性；
f(x)的定义域为 R 关于原点对称，令 y = -x，则 f
(0) = f(x) + f(-x) = 0，即 f(-x) = -f(x)，可得 f(x)为奇函数.
(3)判断 f(x)的单调性，并证明.
f(x)是 R 上的减函数. 证明如下：∀x₁, x₂ ∈ R，且 x₁ ＜ x₂，则 x₂ - x₁ ＞ 0，则 f(x₂) - f(x₁) = f(x₂) + f(-x₁) = f(x₂ - x₁)，因为当 x ＞ 0 时，f(x) ＜ 0，所以 f(x₂ - x₁) ＜ 0，即 f(x₂) - f(x₁) ＜ 0，故 f(x₁) ＞ f(x₂)，则 f(x)是 R 上的减函数.

一 幂函数的概念
思考 1
我们都学习了哪些函数呢？其解析式都是怎样的呢？
提示 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数;其解析式分别是$y=kx(k≠0),y=\frac {k}{x}(k≠0),y=ax+b$$(a≠0),y=ax^{2}+bx+c(a≠0).$
思考 2
函数：$ y = x $,$ y = x^{2} $,$ y = x^{3} $,$ y = x^{-1} $,$ y = x^{\frac{1}{2}} $,这些函数的解析式有什么共同的特征？其一般形式如何表示？
提示 解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数,一般形式可用$y=x^{a}$表示.

答案： 思考 1 提示 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数;其解析式分别是$y=kx(k≠0),y=\frac {k}{x}(k≠0),y=ax+b$$(a≠0),y=ax^{2}+bx+c(a≠0).$ 思考 2 提示 解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数,一般形式可用$y=x^{a}$表示.

一般地,函数 $ y = \underline{①} $ 叫做幂函数,其中 $ \underline{②} $ 是自变量,$ \underline{③} $ 是常数。
①$x^{0}$ ②x ③a

答案： ①$x^{0}$ ②x ③a

例 1
(1)在函数 $ y = \frac{1}{x^{2}} $,$ y = 2x^{2} $,$ y = x^{2} + x $,$ y = 1 $ 中,幂函数的个数为(B)
A. $ 0 $
B. $ 1 $
C. $ 2 $
D. $ 3 $

答案： B

(2)已知 $ y = (m^{2} + 2m - 2)x^{m^{2} - 2} + m + 3 $ 是幂函数,则 $ m = $-3。

答案： -3