《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一个盒子中红、白、黑三种球的数量分别为x个、y个、z个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的$\frac{1}{3}$,白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来。$\begin{cases} \frac{y}{2} \leqslant z \leqslant \frac{x}{3}, \\ y + z \geqslant 55, \\ x,y,z \in \mathbf{N}^{*}. \end{cases}$

答案： $\begin{cases} \frac{y}{2} \leqslant z \leqslant \frac{x}{3}, \\ y + z \geqslant 55, \\ x,y,z \in \mathbf{N}^{*}. \end{cases}$

二 实数(式)的大小比较
思考
我们知道由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢？设a,b是两个不相等的实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,a ＜ b;当点A在点B的右边时,a ＞ b.

答案： 设a,b是两个不相等的实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,$a ＜ b$;当点A在点B的右边时,$a ＞ b$.

基本事实

①$a ＞ b$ ②$a ＞ b$ ③$a = b$ ④$a = b$ ⑤$a ＜ b$ ⑥$a ＜ b$

答案： ①$a ＞ b$ ②$a ＞ b$ ③$a = b$ ④$a = b$ ⑤$a ＜ b$ ⑥$a ＜ b$

[例2]
(对接教材例1)(1)比较$2x^{2}-4x + 16与x^{2}+2x + 6$的大小。
(2)已知a,b都是正实数,比较$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}与a + b$的大小。(1)$(2x^{2}-4x + 16)-(x^{2}+2x + 6)=x^{2}-6x + 10=(x - 3)^{2}+1 ＞ 0$,故$2x^{2}-4x + 16 ＞ x^{2}+2x + 6$.
(2)$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}-(a + b)=\frac{a^{3}+b^{3}-a^{2}b - ab^{2}}{ab}=\frac{(a - b)^{2}(a + b)}{ab}$,因为$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,故$a + b ＞ 0$,$ab ＞ 0$,当$a = b$时,$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}-(a + b)=0$,即$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}=a + b$;当$a \neq b$时,$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}-(a + b) ＞ 0$,即$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a} ＞ a + b$.

答案：
(1)$(2x^{2}-4x + 16)-(x^{2}+2x + 6)=x^{2}-6x + 10=(x - 3)^{2}+1 ＞ 0$,故$2x^{2}-4x + 16 ＞ x^{2}+2x + 6$.
(2)$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}-(a + b)=\frac{a^{3}+b^{3}-a^{2}b - ab^{2}}{ab}=\frac{(a - b)^{2}(a + b)}{ab}$,因为$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,故$a + b ＞ 0$,$ab ＞ 0$,当$a = b$时,$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}-(a + b)=0$,即$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}=a + b$;当$a \neq b$时,$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}-(a + b) ＞ 0$,即$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a} ＞ a + b$.

(1)已知$x\in\mathbf{R}$,设$M= (x + 8)(x + 11)$,$N= (x + 9)(x + 10)$,比较M与N的大小。因为$M - N=(x + 8)(x + 11)-(x + 9)(x + 10)=(x^{2}+19x + 88)-(x^{2}+19x + 90)=-2 ＜ 0$,所以$M ＜ N$.
(2)设$m\neq n$,$x = m^{4}-m^{3}n$,$y = n^{3}m - n^{4}$,比较x与y的大小。$x - y=m^{4}-m^{3}n-(n^{3}m - n^{4})=m^{3}(m - n)-n^{3}(m - n)=(m - n)(m^{3}-n^{3})=(m - n)^{2}(m^{2}+mn + n^{2})$,因为$m \neq n$,所以$(m - n)^{2} ＞ 0$,又因为$m^{2}+mn + n^{2}=\left(m + \frac{n}{2}\right)^{2}+\frac{3n^{2}}{4} \geqslant 0$,当且仅当$m + \frac{n}{2}=n = 0$,即$m = n = 0$时等号成立,又$m \neq n$,所以$m^{2}+mn + n^{2}=\left(m + \frac{n}{2}\right)^{2}+\frac{3n^{2}}{4} ＞ 0$,所以$x - y ＞ 0$,所以$x ＞ y$.

答案：
(1)因为$M - N=(x + 8)(x + 11)-(x + 9)(x + 10)=(x^{2}+19x + 88)-(x^{2}+19x + 90)=-2 ＜ 0$,所以$M ＜ N$.
(2)$x - y=m^{4}-m^{3}n-(n^{3}m - n^{4})=m^{3}(m - n)-n^{3}(m - n)=(m - n)(m^{3}-n^{3})=(m - n)^{2}(m^{2}+mn + n^{2})$,因为$m \neq n$,所以$(m - n)^{2} ＞ 0$,又因为$m^{2}+mn + n^{2}=\left(m + \frac{n}{2}\right)^{2}+\frac{3n^{2}}{4} \geqslant 0$,当且仅当$m + \frac{n}{2}=n = 0$,即$m = n = 0$时等号成立,又$m \neq n$,所以$m^{2}+mn + n^{2}=\left(m + \frac{n}{2}\right)^{2}+\frac{3n^{2}}{4} ＞ 0$,所以$x - y ＞ 0$,所以$x ＞ y$.