《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

若$p$是$q$的充分条件，$p$是$q$的必要条件，则$p$是$q$的充分必要条件，简称为充分必要条件，记作$p\Leftrightarrow q$.这时，$q$也是$p$的充要条件.

答案： ①$p\Leftrightarrow q$ ②充分必要 ③充要

下列命题中,哪些$p是q$的充要条件？
(1)$p$：集合$A\subseteq B$,$B\subseteq C$,$C\subseteq A$,$q$：集合$A = B = C$；
(2)$p$：$\triangle ABC$是直角三角形,$q$：$\triangle ABC$是等腰三角形；
(3)$p$：$xy = 0$,$q$：$x^{2}+y^{2}= 0$；
(4)$p$：某四边形是菱形,$q$：某四边形的对角线相互垂直。
[解]　(1)若$A\subseteq B$，$B\subseteq C$，则$A\subseteq C$，又由$C\subseteq A$，则$A=C$，同理可得$A=B$，则有$A=B=C$；反之，若$A=B=C$，一定有$A\subseteq B$，$B\subseteq C$，$C\subseteq A$，故$p$是$q$的充要条件．
(2)由$\triangle ABC$是直角三角形推不出$\triangle ABC$是等腰三角形，由$\triangle ABC$是等腰三角形推不出$\triangle ABC$是直角三角形，故$p$是$q$的既不充分也不必要条件．
(3)若$xy=0$，则$x=0$或$y=0$，如$x=0$，$y=1$不能推出$x^{2}+y^{2}=0$；若$x^{2}+y^{2}=0$，则$x=0$且$y=0$，能推出$xy=0$，故$p$是$q$的必要不充分条件．
(4)菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，即$p\Rightarrow q$但$q\nRightarrow p$，故$p$是$q$的充分不必要条件．

答案： [解]　
(1)若$A\subseteq B$，$B\subseteq C$，则$A\subseteq C$，又由$C\subseteq A$，则$A=C$，同理可得$A=B$，则有$A=B=C$；反之，若$A=B=C$，一定有$A\subseteq B$，$B\subseteq C$，$C\subseteq A$，故$p$是$q$的充要条件．
(2)由$\triangle ABC$是直角三角形推不出$\triangle ABC$是等腰三角形，由$\triangle ABC$是等腰三角形推不出$\triangle ABC$是直角三角形，故$p$是$q$的既不充分也不必要条件．
(3)若$xy=0$，则$x=0$或$y=0$，如$x=0$，$y=1$不能推出$x^{2}+y^{2}=0$；若$x^{2}+y^{2}=0$，则$x=0$且$y=0$，能推出$xy=0$，故$p$是$q$的必要不充分条件．
(4)菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，即$p\Rightarrow q$但$q\nRightarrow p$，故$p$是$q$的充分不必要条件．

(1)在$\triangle ABC$中,角$A$,$B$,$C所对的边分别为a$,$b$,$c$,则“$A＞B$”是“$a＞b$”的(C)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 解析：选C．在$\triangle ABC$中，若$A＞B$，根据大角对大边可得$a＞b$，若$a＞b$，则根据大边对大角可知$A＞B$．所以“$A＞B$”是“$a＞b$”的充要条件．

(2)(多选)设全集为$U$,$A$,$B$,$C$是非空子集,在下列选项中,是$B\subseteq A$的充要条件是(BD)
A.$A\cup B = B$
B.$B\cap (\complement_{U}A)= \varnothing$
C.$(B\cap C)\subseteq (A\cap C)$
D.$B\subseteq (A\cap B)$

答案： 解析：选BD．对于A，由Venn图可知，当$B\subseteq A$时，$A\cup B=A$，故A错误；对于B，由Venn图可知，$B\cap (\complement _{U}A)=\varnothing $等价于$B\subseteq A$，故B正确；对于C，若$U=\mathbf{R}$，当$(B\cap C)\subseteq (A\cap C)$时，取$A=\{0\}$，$B=\{1\}$，$C=\{2\}$，此时$A\cap C=\varnothing $，$B\cap C=\varnothing $，满足条件，但$B\subseteq A$不成立，故C错误；对于D，由Venn图可知，$B\subseteq (A\cap B)$等价于$B\subseteq A$，故D正确．

求证：“$\triangle ABC$两边上的高相等”是“$\triangle ABC$为等腰三角形”的充要条件。
[证明]　充分性：在$\triangle ABC$中，设$AC$边上的高为$h_{1}$，$AB$边上的高为$h_{2}$．则$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot h_{1}=\dfrac{1}{2}AB\cdot h_{2}$，因为$h_{1}=h_{2}$，所以$AC=AB$，故$\triangle ABC$为等腰三角形，充分性成立．必要性：若$\triangle ABC$为等腰三角形，设$AB=AC$，$AC$边上的高为$h_{1}$，$AB$边上的高为$h_{2}$，则$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot h_{1}=\dfrac{1}{2}AB\cdot h_{2}$，可得$h_{1}=h_{2}$，必要性成立．故“$\triangle ABC$两边上的高相等”是“$\triangle ABC$为等腰三角形”的充要条件．

答案： [证明]　充分性：在$\triangle ABC$中，设$AC$边上的高为$h_{1}$，$AB$边上的高为$h_{2}$．则$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot h_{1}=\dfrac{1}{2}AB\cdot h_{2}$，因为$h_{1}=h_{2}$，所以$AC=AB$，故$\triangle ABC$为等腰三角形，充分性成立．必要性：若$\triangle ABC$为等腰三角形，设$AB=AC$，$AC$边上的高为$h_{1}$，$AB$边上的高为$h_{2}$，则$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot h_{1}=\dfrac{1}{2}AB\cdot h_{2}$，可得$h_{1}=h_{2}$，必要性成立．故“$\triangle ABC$两边上的高相等”是“$\triangle ABC$为等腰三角形”的充要条件．