《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

(1)(多选)下列全称量词命题中真命题有(BC)
A.负数不能开根号
B.对任意的实数 $a$,$b$,都有 $a^2 + b^2 \geq 2ab$
C.二次函数 $y = x^2 - ax - 1$ 的图象与 $x$ 轴恒有交点
D.$\forall x \in \mathbf{R}$,$y \in \mathbf{R}$,都有 $x^2 + |y| ＞ 0$

答案： BC

(2) 命题“对任意一个实数 $x$,$x^2 + 2x + 1$ 都不小于零”,用数学符号表示为 ∀x∈R,x²+2x+1≥0。

答案： ∀x∈R,x²+2x+1≥0

二 存在量词与存在量词命题
观察下列四个语句：
(1) $2x + 1 = 3$；
(2) $x$ 能被 $2$ 和 $3$ 整除；
(3) 存在一个 $x \in \mathbf{R}$,使 $2x + 1 = 3$；
(4) 至少有一个 $x \in \mathbf{Z}$,$x$ 能被 $2$ 和 $3$ 整除。
思考 1
比较语句(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系？
提示 容易判断,语句(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语"存在一个"对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用"至少有一个"对变量x的取值进行限定,从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句,因此(3)(4)是命题.
思考 2
对于语句(3)(4),你能判断它们的真假吗？
提示 (3)是真命题,(4)是真命题.

答案： 思考1 提示 容易判断,语句
(1)
(2)不是命题.语句
(3)在
(1)的基础上,用短语"存在一个"对变量x的取值进行限定;语句
(4)在
(2)的基础上,用"至少有一个"对变量x的取值进行限定,从而使
(3)
(4)变成了可以判断真假的陈述句,因此
(3)
(4)是命题.
思考 2 提示
(3)是真命题,
(4)是真命题.

（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做②存在量词，并用符号“①∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题。
（2）特称命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为③∃x∈M,p(x)。

答案： ①∃ ②存在量词 ③∃x∈M,p(x)

[例 2]
(多选)(对接教材例 2)下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是(ACD)
A.有些菱形是正方形
B.若 $x ＞ 2$,则 $2x + 1 ＞ 5$
C.$\exists x \in \mathbf{R}$,$x^2 - 2x + 1 \leq 0$
D.$\exists x \in \mathbf{R}$,$x^2 - 2x + 1 ＞ 0$

答案： ACD

(1)(多选)下列存在量词命题中,是真命题的是(BC)
A.$\exists x \in \mathbf{R}$,$|x| ＜ 0$
B.存在一个实数,它的绝对值不是正数
C.有些自然数是偶数
D.$\exists x \in \mathbf{Z}$,$2x + \sqrt{x} - 1 = 0$

答案： BC

(2) 命题“存在正实数 $x$,使得 $2x$ 大于 $3x$”,用符号语言可表示为∃x∈R₊,2x＞3x,该命题为假命题。(填“真”或“假”)

答案： ∃x∈R₊,2x＞3x 假

三 由含量词命题的真假求参数
[例 3]
已知命题 $p$：$\forall x \in \{x | 1 \leq x \leq 4\}$,$x - a ＞ 0$。若 $p$ 为真命题,求实数 $a$ 的取值范围。
[解析] 命题p为真命题,转化为a＜x对任意x∈{x|1≤x≤4}恒成立,因此a＜xₘᵢₙ,即a＜1.
母题探究 1
本例中“$p$：$\forall x \in \{x | 1 \leq x \leq 4\}$”改为“$p$：$\forall x \in \{x | 1 ＜ x \leq 4\}$”其他条件不变,求实数 $a$ 的取值范围。
解:由例题解析可得a＜x对任意x∈{x|1＜x≤4}恒成立,a＜xₘᵢₙ,但x没有最小值,所以a≤1.
母题探究 2
本例中“$\forall$”改为“$\exists$”,其他条件不变,求实数 $a$ 的取值范围。
解:由题得命题p:∃x∈{x|1≤x≤4},x-a＞0,命题p为真命题,转化为a＜x在x∈{x|1≤x≤4}上有解,因此a＜xₘₐₓ,即a＜4.

答案： [解析] 命题p为真命题,转化为a＜√x对任意x∈{x|1≤x≤4}恒成立,因此a＜xₘᵢₙ,即a＜1.
[母题探究1] 解:由例题解析可得a＜x对任意x∈{x|1＜x≤4}恒成立,a＜xₘᵢₙ,但x没有最小值,所以a≤1.
[母题探究2] 解:由题得命题p:∃x∈{x|1≤x≤4},x-a＞0,命题p为真命题,转化为a＜x在x∈{x|1≤x≤4}上有解,因此a＜xₘₐₓ,即a＜4.