《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

二 充分条件与必要条件
有如图所示的电路图。


思考 1
哪一个电路图可以说明,当$p$开关闭合,$q$灯一定亮呢？
图 1
思考 2
对于电路图 1,当$q$灯亮,$p$开关一定闭合吗？
不一定，也可能是 r 开关闭合

答案： 思考 1 提示 图 1. 思考 2 提示 不一定，也可能是 r 开关闭合.

<题目>


①⇒ ②⇏ ③充分 ④必要 ⑤不是

答案： ①⇒ ②⇏ ③充分 ④必要 ⑤不是

[例 1] (对接教材例 1)判断下列各组$p$,$q$中,$p是否是q$的充分条件？
(1) 在$\triangle ABC$中,$p:\angle B ＞ \angle C$,$q:AC ＞ AB$；
(2) 已知$x\in \mathbf{R}$,$p:x = 1$,$q:(x - 1)(x - 2) = 0$；
(3) 已知$x\in \mathbf{R}$,$p:x ＞ 1$,$q:x ＞ 2$。
（1）在△ABC 中，∠B＞∠C ⇒AC＞AB，所以 p 是 q 的充分条件. （2）由 x=1⇒(x-1)(x-2)=0，所以 p 是 q 的充分条件. （3）方法一：由 x＞1⇏x＞2，所以 p 不是 q 的充分条件. 方法二：设集合 A={x|x＞1}，B={x|x＞2}，则 B⊆A，所以 p 不是 q 的充分条件.

答案： （1）在△ABC 中，∠B＞∠C ⇒AC＞AB，所以 p 是 q 的充分条件. （2）由 x=1⇒(x-1)(x-2)=0，所以 p 是 q 的充分条件. （3）方法一：由 x＞1⇏x＞2，所以 p 不是 q 的充分条件. 方法二：设集合 A={x|x＞1}，B={x|x＞2}，则 B⊆A，所以 p 不是 q 的充分条件.

[例 2] (对接教材例 2)判断下列各组$p$,$q$中,$q是否为p$的必要条件？
(1) $p:x ＞ 2$,$q:x ＞ 1$；
(2) $p:x^2 = y^2$,$q:x = y$；
(3) $p:a + 5$是无理数,$q:a$是无理数。
（1）由 x＞2⇒x＞1，则 p⇒q 成立，所以 q 是 p 的必要条件. （2）由 x²=y²⇒x=±y，不能推出 x=y，则 p⇏q，所以 q 不是 p 的必要条件. （3）由 a+5 是无理数⇒a 是无理数，则 p⇒q 成立，所以 q 是 p 的必要条件.

答案： （1）由 x＞2⇒x＞1，则 p⇒q 成立，所以 q 是 p 的必要条件. （2）由 x²=y²⇒x=±y，不能推出 x=y，则 p⇏q，所以 q 不是 p 的必要条件. （3）由 a+5 是无理数⇒a 是无理数，则 p⇒q 成立，所以 q 是 p 的必要条件.