《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度 h(单位：m)与小球运动时间 t(单位：s)之间的关系式为$ h = 30t - 5t^2,$那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(6)
A.6 s
B.4 s
C.3 s
D.2 s

答案： 解析：选A。令h = 30t - 5t² = 0，得t = 0或t = 6，故小球从抛出至回落到地面所需要的时间为6 - 0 = 6(s)。

2.(多选)一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②。某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图③。则下列说法中一定正确的有(AC)

＜image placeholder= "图①"＞＜/image＞
＜image placeholder= "图②"＞＜/image＞
＜image placeholder= "图③"＞＜/image＞
A.0 点到 3 点只进水不出水
B.3 点到 4 点不进水只出水
C.3 点到 4 点总蓄水量降低
D.4 点到 6 点不进水不出水

答案： 解析：选AC。由题中①②两图知，每个进水口的进水速度是1 t/h，是出水速度的1/2，所以由题图③可知，0点到3点只进水不出水，A一定正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B一定不正确，C一定正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D不一定正确。

3. 生产某机器的总成本 y(单位：万元)与产量 x(单位：台)之间的函数关系式是$ y = x^2 - 75x,$若每台机器售价为 25 万元,则该厂获得最大利润时生产的机器为50台。

答案： 解析：设生产x台机器，获得利润f(x)万元，则f(x) = 25x - y = -x² + 100x = -(x - 50)² + 2500，故当x = 50时，获得最大利润。
答案：50

4. 近几年 3D 打印手办深受青少年的喜爱,某工厂计划在 2025 年利用新技术生产手办,通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本 12 万元,生产 x(单位：千件)手办,需另投入成本 C(x)(单位：万元),且
$C(x)= \begin{cases}x^2 + x & (0 ＜ x ＜ 6) \\10x + \dfrac{100}{x} - 40 & (x \geq 6)\end{cases} $
由市场调研知每件手办售价 90 元,且每年内生产的手办当年能全部销售完。
(1)求出 2025 年的利润 L(x)(单位：万元)关于年产量 x 的表达式；
(2)2025 年年产量为多少千件时,该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
（1）当0 ＜ x ＜ 6时，L(x) = 9x - (x² + x) - 12 = -x² + 8x - 12；当x ≥ 6时，L(x) = 9x - (10x + 100/x - 40) - 12 = -(x + 100/x) + 28，所以
L(x) = {-x² + 8x - 12, 0 ＜ x ＜ 6; -(x + 100/x) + 28, x ≥ 6}。
（2）若0 ＜ x ＜ 6，L(x) = -x² + 8x - 12 = -(x - 4)² + 4，当x = 4时，L(x)_max = 4万元；若x ≥ 6，L(x) = -(x + 100/x) + 28 ≤ -2√(x·100/x) + 28 = 8，
当且仅当x = 100/x，即x = 10时，L(x)_max = 8万元。因为8 ＞ 4，所以2025年年产量为10千件时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元。

答案： 解：（1）当0 ＜ x ＜ 6时，L(x) = 9x - (x² + x) - 12 = -x² + 8x - 12；当x ≥ 6时，L(x) = 9x - (10x + 100/x - 40) - 12 = -(x + 100/x) + 28，所以
L(x) = {-x² + 8x - 12, 0 ＜ x ＜ 6; -(x + 100/x) + 28, x ≥ 6}。
（2）若0 ＜ x ＜ 6，L(x) = -x² + 8x - 12 = -(x - 4)² + 4，当x = 4时，L(x)_max = 4万元；若x ≥ 6，L(x) = -(x + 100/x) + 28 ≤ -2√(x·100/x) + 28 = 8，
当且仅当x = 100/x，即x = 10时，L(x)_max = 8万元。因为8 ＞ 4，所以2025年年产量为10千件时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元。