《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 对数式 $ \log_{a}N $ 是 $ \log_{a} $ 与 $ N $ 的乘积。(×)
(2) 在式子 $ \log_{m}N $ 中,底数 $ m $ 的取值范围是 $ m ＞ 0 $。(×)
(3) 对数的真数必须是非负数。(×)
(4) $ (-2)^{3}= -8 $ 可化为 $ \log_{(-2)}(-8)= 3 $。(×)

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×

2. 在对数式 $ b = \log_{(a - 3)}(5 - a) $ 中,实数 $ a $ 的取值范围是($(3,4)\cup (4,5)$)
A.$ (-\infty, 3) \cup (5, +\infty) $
B.$ (3, 5) $
C.$ (3, 4) $
D.$ (3, 4) \cup (4, 5) $

答案： 解析:选 D.要使对数式 $b=\log_{(a-3)}(5-a)$ 有意义,需满足 $\left\{\begin{array}{l} a-3＞0,\\ a-3≠1,\\ 5-a＞0,\end{array}\right.$ 解得 $3＜a＜4$ 或 $4＜a＜5$,所以实数 a 的取值范围是 $(3,4)\cup (4,5)$.

3. 以 10 为底数,$ e $ 为真数的对数简记为 $$$\lg e$$$；以 $ e $ 为底数,10 为真数的对数简记为 $$$\ln 10$$$。

答案： $\lg e$ $\ln 10$

思考 1
由 $ 2^{0}= 1 $,$ 3^{0}= 1 $,化成对数式,你能发现什么结论？
$\log_{a}1 = 0$（$a＞0$且$a\neq1$）

答案： $\log_{a}1 = 0$（$a＞0$且$a\neq1$）

思考 2
由 $ 2^{1}= 2 $,$ 3^{1}= 3 $,化成对数式,你能发现什么结论？
底数的对数等于1（或$\log_{a}a=1$，$a＞0$且$a\neq1$）

答案： 底数的对数等于1（或$\log_{a}a=1$，$a＞0$且$a\neq1$）

思考 3
指数函数 $ y = a^{x}(a ＞ 0 $,且 $ a \neq 1) $ 的值域是 $ (0, +\infty) $,把 $ a^{x}= N $ 改写为对数式后,真数的值能是 0 或负数吗？不能

答案： 不能

(1)(多选)有以下四个结论,其中正确的是(BC)
A.$ \lg(\lg 10)= 1 $
B.$ \lg(\ln e)= 0 $
C.若 $ e = \ln x $,则 $ x = e^{e} $
D.$ \ln(\lg 1)= 0 $

答案： 解析：因为 $\lg 10=\ln e=1$，$\lg 1=0$，所以 A 错误，B 正确；若 $e=\ln x$，则 $x=e^{e}$，故 C 正确；$\lg 1=0$，而 $\ln 0$ 没有意义，故 D 错误。答案：BC

(2) 若 $ \log_{(x - 2)}(x^{2} - 7x + 13)= 0 $,则 $ x $ 的值为 $$4$$。

答案： 解析：因为 $\log_{x-2}(x^{2}-7x+13)=0$，所以 $\left\{\begin{array}{l} x^{2}-7x+13=1,\\ x-2＞0,\\ x-2≠1,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l} x^{2}-7x+12=0,\\ x＞2,\\ x≠3,\end{array}\right.$ 解得 $x=4$。答案：4

(1) 计算 $ 2^{2 + \log_{2}5}= $(20)
A.7
B.9
C.10
D.20

答案： 解析:选 D.$2^{2+\log_{2}5}=2^{2}×2^{\log_{2}5}=4×5=20$.

(2) 若 $ \log_{4}(\log_{5}x)= 0 $,则 $ x= $5。

答案： 解析:因为 $\log_{4}(\log_{5}x)=0$，所以 $\log_{5}x=4^{0}=1$，所以 $x=5^{1}=5$。答案:5