《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

若命题“$\exists x \in \mathbf{R}$,使得 $mx^2 + 4x - 1 = 0$”为真命题,则实数 $m$ 的取值范围为(C)
A.$-4 ＜ m ＜ 0$
B.$m ＞ 0$
C.$m \geq -4$
D.$-4 \leq m \leq 0$

答案： C

1.
下列命题中是存在量词命题的是(D)
A.任何一个实数乘以 $0$ 都等于 $0$
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数

答案： D

2.(多选)
已知集合 $A = \{x | x \geq 1\}$,$B = \{x | x ＞ 2\}$,则(AD)
A.$\exists x \in A$,$x \in B$
B.$\exists x \in B$,$x \notin A$
C.$\forall x \in A$,$x \notin B$
D.$\forall x \in B$,$x \in A$

答案： AD

3.
对任意 $x \in \mathbf{R}$,等式 $m^2(1 - x) = mx + 1$ 成立,则实数 $m = $-1。

答案： -1

4.(教材 $P_{28} T_1$、$T_2$ 改编)
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假。
(1) 末位是零的整数,可以被 $5$ 整除；
(2) 有的集合中不含有任何元素；
(3) 存在对角线不互相垂直的菱形；
(4) $\exists x \in \mathbf{R}$,满足 $3x^2 + 2 ＞ 0$。
解:
(1)全称量词命题,因为每一个末位是零的整数,都能被5整除,所以"末位是零的整数,可以被5整除"是真命题.
(2)存在量词命题,由于空集中不含有任何元素,因此"有的集合中不含有任何元素"是真命题.
(3)存在量词命题,由于所有菱形的对角线都互相垂直,所以不存在对角线不互相垂直的菱形,因此"存在对角线不互相垂直的菱形"是假命题.
(4)存在量词命题,∀x∈R,满足3x²+2＞0,因此"∃x∈R,满足3x²+2＞0"是真命题.

答案： 解:
(1)全称量词命题,因为每一个末位是零的整数,都能被5整除,所以"末位是零的整数,可以被5整除"是真命题.
(2)存在量词命题,由于空集中不含有任何元素,因此"有的集合中不含有任何元素"是真命题.
(3)存在量词命题,由于所有菱形的对角线都互相垂直,所以不存在对角线不互相垂直的菱形,因此"存在对角线不互相垂直的菱形"是假命题.
(4)存在量词命题,∀x∈R,满足3x²+2＞0,因此"∃x∈R,满足3x²+2＞0"是真命题.