《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1)任何函数都有最大值或最小值。(×)
(2)函数的最小值一定比最大值小。(×)
(3)若函数$f(x)\leq1$恒成立,则$f(x)$的最大值为1。(×)
(4)若$f(a)是函数f(x)$的最大值,则$(a,f(a))是f(x)$图象上的最高点。(√)

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√

2. (多选)如图是函数$y = f(x)$,$x\in[-4,3]$的图象,则下列说法正确的是(BD)
的图象]
A.$f(x)在[-4,-1]\cup[1,3]$上单调递减
B.$f(x)在[-1,1]$上单调递增
C.$f(x)在区间(-1,3)$上的最大值为3,最小值为$-2$
D.$f(x)在[-1,3]$上有最大值3,有最小值$-2$

答案： BD

3. 已知函数$f(x)= -|x - 1| + 2$,则函数的最大值是2,值域是(-∞,2]。

答案： 2　(-∞,2]

例1
(对接教材例5)已知$f(x)= \frac{2x + 1}{x + 1}$。
(1)判断函数$f(x)在区间[1,+\infty)$上的单调性,并用定义证明你的结论；
(2)求函数$f(x)在区间[1,4]$上的最大值与最小值。
(1)f(x)在[1,+∞)上单调递增。证明如下:任取x₁,x₂∈[1,+∞)，且x₁＜x₂，f(x₁)-f(x₂)=$\frac{2x₁ + 1}{x₁ + 1}$ - $\frac{2x₂ + 1}{x₂ + 1}$=$\frac{x₁ - x₂}{(x₁ + 1)(x₂ + 1)}$。因为x₁ - x₂＜0，(x₁ + 1)(x₂ + 1)＞0，所以f(x₁)-f(x₂)＜0，f(x₁)＜f(x₂)，所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增。
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上单调递增。所以f(x)最大值为f(4)=$\frac{9}{5}$，最小值为f(1)=$\frac{3}{2}$。

答案：
(1)f(x)在[1,+∞)上单调递增。证明如下:任取x₁,x₂∈[1,+∞)，且x₁＜x₂，f(x₁)-f(x₂)=$\frac{2x₁ + 1}{x₁ + 1}$ - $\frac{2x₂ + 1}{x₂ + 1}$=$\frac{x₁ - x₂}{(x₁ + 1)(x₂ + 1)}$。因为x₁ - x₂＜0，(x₁ + 1)(x₂ + 1)＞0，所以f(x₁)-f(x₂)＜0，f(x₁)＜f(x₂)，所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增。
(2)由
(1)知函数f(x)在[1,4]上单调递增。所以f(x)最大值为f
(4)=$\frac{9}{5}$，最小值为f
(1)=$\frac{3}{2}$。