《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一 函数奇偶性的概念
思考1二次函数$y = x^{2}$的图象关于什么对称？y轴.

答案： y轴.

思考2反比例函数$y= \frac{1}{x}$的图象关于哪一点对称？
原点.

答案： 原点.

[例1](对接教材例6)判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)= x^{2}-3|x|$；
解：函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,+\infty)$，关于原点对称。
因为$f(-x)=(-x)^{2}-3|-x|=x^{2}-3|x|=$①f(x)，
所以$f(x)$是偶函数，其图象关于③y轴对称。
(2)$f(x)= \sqrt{x^{2}-4}+\sqrt{4 - x^{2}}$；
解：由$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4\geq0,\\ 4-x^{2}\geq0,\end{array}\right.$得$x^{2}=4$，解得$x=\pm 2$，
所以函数$f(x)$的定义域为$\{ -2,2\}$，关于原点对称。
此时$f(x)=0$，$f(-x)=0=$①f(x)，且$f(-x)=0=-f(x)$，
所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数，其图象既关于③y轴对称，又关于④原点对称。
(3)$f(x)= \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{|x + 4|-4}$。
解：由$\left\{\begin{array}{l} 9-x^{2}\geq0,\\ |x+4|-4\neq0,\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l} -3\leq x\leq3,\\ |x+4|\neq4,\end{array}\right.$
由$|x+4|\neq4$，得$x+4\neq4$且$x+4\neq-4$，即$x\neq0$且$x\neq-8$，
所以函数$f(x)$的定义域为$[-3,0)\cup(0,3]$，关于原点对称。
当$-3\leq x\leq3$且$x\neq0$时，$x+4>0$，所以$|x+4|=x+4$，
所以$f(x)=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{(x+4)-4}=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}$，
则$f(-x)=\frac{\sqrt{9-(-x)^{2}}}{-x}=-\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x}=$② - f(x)，
所以$f(x)$是奇函数，其图象关于④原点对称。

答案： ①f(x)　② - f(x)　③y轴　④原点