《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

(1) 新课程互助学习小组在学习二分法后,利用二分法研究方程 $e^x + x - 5 = 0$ 在 $(0,4)$ 上的近似解时,经过两次二分后,可确定近似解 $x_0$ 所在的区间为 (B)
A.$(0,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,3)$
D.$(3,4)$

答案：
(1)解析：选 B.令$f(x)=e^{x}+x-5$，可知$f(0)=-4＜0$，$f(4)=e^{4}-1＞0$，又$e＞2$，则$f(2)=e^{2}-3＞0$，所以$f(0)f(2)＜0$，根据二分法结合函数零点存在定理可知，近似解$x_{0}$所在的区间为$(0,2)$.又$f(1)=e-4＜0$，所以$f(1)f(2)＜0$，根据二分法结合函数零点存在定理可知，近似解$x_{0}$所在的区间为$(1,2)$.

(2) 用二分法求方程的近似解,求得 $f(x) = x^3 + 2x - 9$ 的部分函数值数据如表所示：

则当精确度为 0.1 时,方程 $x^3 + 2x - 9 = 0$ 的近似解可取为1.8(答案不唯一，只要在区间[1.75,1.8125]内即可).

答案：
(2)解析：根据题表中数据可知$f(1.75)\approx-0.14＜0$，$f(1.8125)\approx0.5793＞0$，由$|1.8125-1.75|=0.0625＜0.1$，达到了精确度为0.1，故方程的一个近似解为1.8.
答案：1.8(答案不唯一，只要在区间$[1.75,1.8125]$内即可)

1. 用二分法求函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的唯一零点时,当精确度为 0.002 时,结束计算的条件是 (B)
A.$|a - b| \leq 0.002$
B.$|a - b| ＜ 0.002$
C.$|a - b| ＞ 0.002$
D.$|a - b| = 0.002$

答案： 解析：选 B.根据二分法的步骤知当区间长度$|a-b|$小于精确度时，便可结束计算.所以当$|a-b|＜0.002$时，便可结束计算.

2. (多选)(教材 $P_{146} T_2$ 改编)某同学利用二分法求函数 $f(x) = \ln x + 2x - 6$ 的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示：

则函数 $f(x) = \ln x + 2x - 6$ 的零点的近似值可取为(精确度为 0.1) (BC)
A.2.49
B.2.52
C.2.55
D.2.58

答案： 解析：选 BC.因为函数$f(x)=\ln x+2x-6$在其定义域上为增函数，结合题中表格可知，函数$f(x)=\ln x+2x-6$的零点在$(2.5,3)$，$(2.5,2.75)$，$(2.5,2.625)$，$(2.5,2.5625)$内，又精确度为0.1，$|2.5625-2.5|=0.0625＜0.1$，所以函数$f(x)=\ln x+2x-6$的零点可取为2.5或2.6.

3. (教材 $P_{146} T_1$ 改编)若用二分法求方程 $2x^3 + 3x - 3 = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内的近似解,第一次取区间的中点为 $x_1 = \frac{1}{2}$,那么第二次取区间的中点为 $x_2 = $$\frac{3}{4}$.

答案： 解析：当$x=0$时，$2×0^{3}+3×0-3=-3＜0$，当$x=1$时，$2×1^{3}+3×1-3=2＞0$，当$x=\frac{1}{2}$时，$2×\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3×\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{4}＜0$，故下一次应取区间$\left(\frac{1}{2},1\right)$的中点，即$x_{2}=\frac{\frac{1}{2}+1}{2}=\frac{3}{4}$.
答案：$\frac{3}{4}$

4. 若函数 $f(x) = (a + 2)x^2 + 2ax + 1$ 有零点,但不能用二分法求其零点,求实数 $a$ 的值.
解：当$a+2=0$时，得$a=-2$，函数$f(x)=-4x+1$，能用二分法求出零点，不符合题意；当$a+2\neq0$时，得$a\neq-2$，函数$f(x)=(a+2)x^{2}+2ax+1$为二次函数，因为函数$f(x)$有零点，且不能用二分法求其零点，所以函数$f(x)$的图象与$x$轴有1个公共点，所以关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^{2}+2ax+1=0$有两个相等的实根，即$\Delta=4a^{2}-4(a+2)=0$，解得$a=2$或$a=-1$.综上，$a=2$或$a=-1$.

答案： 解：当$a+2=0$时，得$a=-2$，函数$f(x)=-4x+1$，能用二分法求出零点，不符合题意；当$a+2\neq0$时，得$a\neq-2$，函数$f(x)=(a+2)x^{2}+2ax+1$为二次函数，因为函数$f(x)$有零点，且不能用二分法求其零点，所以函数$f(x)$的图象与$x$轴有1个公共点，所以关于$x$的一元二次方程$(a+2)x^{2}+2ax+1=0$有两个相等的实根，即$\Delta=4a^{2}-4(a+2)=0$，解得$a=2$或$a=-1$.综上，$a=2$或$a=-1$.