《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一般地,函数 $$y=aˣ$$($ a ＞ 0 $,且 $ a \neq 1 $)叫做指数函数,其中指数 $ x $ 是自变量,定义域是 $ \mathbf{R} $。
点拨 (1)指数函数的特征：底数 $ a ＞ 0 $,且 $ a \neq 1 $。
(2)指数幂的系数为 1。

答案： y=aˣ

1.(多选)下列函数中,是指数函数的为 (AD)
A.$ y = 0.75^{x} $
B.$ y = (-0.75)^{x} $
C.$ y = x^{5} $
D.$ y = (\frac{1}{5})^{x} $

答案： 解析:选 AD.形如 y=aˣ(a＞0,且 a≠1)形式的函数为指数函数,满足条件的为A,D.

2. 若函数 $ y = (2a - 1)^{x} $($ x $ 是自变量)是指数函数,则 $ a $ 的取值范围是 $$$(\frac{1}{2},1)∪(1,+∞)$$$。

答案： 解析:因为函数 y=(2a-1)ˣ(x 是自变量)是指数函数,所以$\begin{cases} 2a-1＞0, \\ 2a-1≠1, \end{cases}$解得 a＞$\frac{1}{2}$且 a≠1. 答案:$(\frac{1}{2},1)∪(1,+∞)$

3. 若函数 $ y = (t - 3)a^{x} + 4 - b $($ a ＞ 0 $,且 $ a \neq 1 $)是指数函数,则 $ t = $4,$ b = $4。

答案： 解析:因为 y=(t-3)aˣ+4-b 是指数函数,所以$\begin{cases} t-3=1, \\ 4-b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} t=4, \\ b=4. \end{cases}$ 答案:4 4

[例 1]
(对接教材例 1)已知指数函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2) = 7 $,求 $ f(-6) $ 和 $ f(3) $。
【解】 因为 f(x)是指数函数,所以可设 f(x)=aˣ(a＞0,且 a≠1),所以 f
(2)=a²=7,解得 a=7$^{\frac{1}{2}}$(负值已舍去),于是 f(x)=7$^{\frac{x}{2}}$.所以 f(-6)=7$^{\frac{-6}{2}}$=7⁻³=$\frac{1}{7³}$=$\frac{1}{343}$,f
(3)=7$^{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{343}$=7$\sqrt{7}$.

答案： 【解】 因为 f(x)是指数函数,所以可设 f(x)=aˣ(a＞0,且 a≠1),所以 f
(2)=a²=7,解得 a=7$^{\frac{1}{2}}$(负值已舍去),于是 f(x)=7$^{\frac{x}{2}}$.所以 f(-6)=7$^{\frac{-6}{2}}$=7⁻³=$\frac{1}{7³}$=$\frac{1}{343}$,f
(3)=7$^{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{343}$=7$\sqrt{7}$.

已知指数函数 $ y = f(x) $ 的图象过点 $ (2, 16) $,则 $ f(x) = $4ˣ；$ f(\frac{1}{3}) = $_________$ $$\sqrt[3]{4}$。

答案： 解析:设 f(x)=aˣ(a＞0,且 a≠1),由函数 y=f(x)的图象过点(2,16),得 16=a²,又 a＞0,解得 a=4,所以 f(x)=4ˣ,则 f($\frac{1}{3}$)=4$^{\frac{1}{3}}$=$\sqrt[3]{4}$. 答案:4ˣ $\sqrt[3]{4}$

三 指数型函数的实际应用
[例 2]
(对接教材例 2)放射性物质的衰变规律为：$ M = M_{0} × (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}} $,其中 $ M_{0} $ 指初始质量,$ t $ 为衰变时间,$ T $ 为半衰期,$ M $ 为衰变后剩余的质量。已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为 $ T_{1} $,$ T_{2} $(单位：天),若两种物质的初始质量相同,1024 天后发现甲的质量是乙的质量的 8 倍,则 $ \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} = $($\frac{3}{1024}$)
A.$ \frac{3}{1024} $
B.$ \frac{1}{512} $
C.$ \frac{1}{1024} $
D.$ \frac{3}{512} $

答案： 【解析】 由题意可得M₀×($\frac{1}{2}$)$^{\frac{1024}{T₁}}$=8M₀×($\frac{1}{2}$)$^{\frac{1024}{T₂}}$,即$\frac{1024}{T₁}$=$\frac{1024}{T₂}$-3,即$\frac{1}{T₂}$-$\frac{1}{T₁}$=$\frac{3}{1024}$. 【答案】 A

复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息与本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息。按复利计算利息的一种储蓄,本金为 10000 元,每期利率为 $ 2\% $,本利和为 $ y $(单位：元),存期数为 $ x $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $$y=10000×1.02^x$$。

答案： 解析:根据复利计算利息的方式可知,当存期数为 1 时,本利和为y=10 000×(1+2%)=10 000×1.02,当存期数为 2 时,本利和为 y=10 000×(1+2%)²=10 000×1.02²,……所以当存期数为 x 时,本利和为 y=10 000×1.02ˣ. 答案:y=10 000×1.02ˣ