《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例1]
(1)设集合$U = \{ x\in\mathbf{N}^*|x\leqslant 4\}$,$A = \{ 1,2\}$,$B = \{ 2,4\}$,则$\complement_{U}(A\cup B)= $ (A)
A. $\{ 3\}$
B. $\{ 1,2,3,4\}$
C. $\{ 3,4\}$
D. $\{ 2,3,4\}$

答案： 解析:由条件可得，U = {1,2,3,4}，A∪B = {1,2,4}，所以∁_U (A∪B) = {3}. 答案:A

(2)已知全集$U = \{ x|x\leqslant 4\}$,集合$A = \{ x|-2 ＜ x ＜ 3\}$,$B = \{ x|-3\leqslant x\leqslant 2\}$,则$(\complement_{U}A)\cup B = ${x|x≤2,或3≤x≤4},$A\cap(\complement_{U}B)= ${x|2＜x＜3}。

答案： 解析:根据题意，画出数轴，由图1可得∁_U A = {x|x≤-2,或3≤x≤4}，由图2可得∁_U B = {x|x＜-3,或2＜x≤4}，所以(∁_U A)∪B = {x|x≤2,或3≤x≤4}，A∩(∁_U B) = {x|2＜x＜3}. 答案:{x|x≤2,或3≤x≤4} {x|2＜x＜3}

(1)(2024·全国甲卷)已知集合$A = \{ 1,2,3,4,5,9\}$,$B = \{ x|\sqrt{x}\in A\}$,则$\complement_{A}(A\cap B)= $ (D)
A.$\{ 1,4,9\}$
B.$\{ 3,4,9\}$
C.$\{ 1,2,3\}$
D.$\{ 2,3,5\}$

答案： 解析:选D.因为A = {1,2,3,4,5,9}，B = {x|√x∈A}，所以B = {1,4,9,16,25,81}，则A∩B = {1,4,9}，∁_U (A∩B) = {2,3,5}.

(2)如图,设全集$U = \mathbf{R}$,$M = \{ x|x ＜ - 1\}$,$N = \{ x|-3 ＜ x ＜ 0\}$,则图中的阴影部分表示的集合{x|-1≤x＜0}。

答案： 解析:题图表示的集合为(∁_U M)∩N = {x|x≥-1}∩{x|-3＜x＜0} = {x|-1≤x＜0}. 答案:{x|-1≤x＜0}

[例2]
设集合$A = \{ x|x + m\geqslant 0\}$,$B = \{ x|-2 ＜ x ＜ 4\}$,全集$U = \mathbf{R}$,且$(\complement_{U}A)\cap B= \varnothing$,求实数$m$的取值范围。
解:由已知A = {x|x≥-m}，得∁_U A = {x|x＜-m}，因为B = {x|-2＜x＜4}，(∁_U A)∩B = ⌀，在数轴上表示，所以-m≤-2，即m≥2. 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}.
母题探究
若将本例中条件“$(\complement_{U}A)\cap B= \varnothing$”改为“$(\complement_{U}A)\cap B = B$”,其他条件不变,求实数$m$的取值范围。
解:因为A = {x|x≥-m}，所以∁_U A = {x|x＜-m}，又(∁_U A)∩B = B，所以B⊆∁_U A，所以-m≥4，解得m≤-4. 所以实数m的取值范围是{m|m≤-4}.

答案： 解:由已知A = {x|x≥-m}，得∁_U A = {x|x＜-m}，因为B = {x|-2＜x＜4}，(∁_U A)∩B = ⌀，在数轴上表示，所以-m≤-2，即m≥2. 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}. 母题探究 解:因为A = {x|x≥-m}，所以∁_U A = {x|x＜-m}，又(∁_U A)∩B = B，所以B⊆∁_U A，所以-m≥4，解得m≤-4. 所以实数m的取值范围是{m|m≤-4}.

(1)已知全集$A = \{ 1,2025,a^{2}\}$,$B = \{ 2025,2a + 3\}$,若$\complement_{A}B = \{ 1\}$,则$a = $ (3)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解析:选C.因为全集A = {1,2025,a²}，B = {2025,2a+3}，又∁_A B = {1}，所以a² = 2a+3，解得a = 3或a = -1.当a = -1时，a² = 1，不满足全集A中元素互异性，不符合题意，舍去；当a = 3时，A = {1,2025,9}，B = {2025,9}，符合题意；所以a = 3.

(2)已知$a\in\mathbf{R}$,集合$A = \{ x|x ＞ a\}$,$B = \{ x|-1 ＜ x ＜ 2\}$,$A\cup(\complement_{\mathbf{R}}B)= \mathbf{R}$,则$a$的取值范围是$a\leq -1$。

答案： 解析:因为B = {x|-1＜x＜2}，所以∁_R B = {x|x≤-1或x≥2}.又因为A∪(∁_R B) = R，A = {x|x＞a}，观察∁_R B与A在数轴上表示的范围，所以当a≤-1时，A∪(∁_R B) = R. 答案:a≤-1