《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1.
命题“$ \exists n \in \mathbf{N}, n^2 ＞ 2n + 3 $”的否定是(D)
A.$ \forall n \notin \mathbf{N}, n^2 ＜ 2n + 3 $
B.$ \forall n \in \mathbf{N}, n^2 ＜ 2n + 3 $
C.$ \forall n \notin \mathbf{N}, n^2 \leq 2n + 3 $
D.$ \forall n \in \mathbf{N}, n^2 \leq 2n + 3 $

答案： 解析:选D.因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以原命题的否定为∀n∈N,n²≤2n+3.

2.(多选)
若命题 $ p $：无理数的平方是无理数,则(AD)
A.$ p $ 是全称量词命题
B.$ p $ 是存在量词命题
C.$ p $ 为真命题
D.$ \neg p $：有些无理数的平方不是无理数

答案： 解析:选AD.由题意得p是全称量词命题,¬p:有些无理数的平方不是无理数,A,D正确,B错误;$\sqrt{2}$是无理数,但$\sqrt{2}$的平方不是无理数,p为假命题,C错误.

3.
命题“$ \forall x ＞ 0, x^2 - 4x + 3 \leq 0 $”的否定是∃x＞0,x²-4x+3＞0.

答案： 解析:原命题是全称量词命题,其否定是存在量词命题,注意到要否定结论,所以命题"∀x＞0,x²-4x+3≤0"的否定是∃x＞0,x²-4x+3＞0. 答案:∃x＞0,x²-4x+3＞0

4.
若命题“$ \exists x \in \mathbf{R}, 4x^2 - 2x + m = 0 $”为假命题,则实数 $ m $ 的取值范围为$m＞\frac{1}{4}$.

答案： 解析:因为"∃x∈R,4x²-2x+m=0"为假命题,所以"∀x∈R,4x²-2x+m≠0"为真命题,即方程4x²-2x+m≠0没有实数根,所以4-16m＜0,故m＞$\frac{1}{4}$. 答案:m＞$\frac{1}{4}$

1. 设 $ a,b,c $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的三条边,则“$ \triangle ABC $ 为直角三角形”是“$ a^{2}+b^{2}= c^{2} $”的(B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 选 B. 当 a=5,b=4,c=3 时，易知△ABC 是直角三角形，但 $a^2 + b^2 \neq c^2$，所以充分性不成立；根据勾股定理，由 $a^2 + b^2 = c^2$，得△ABC 是直角三角形，所以必要性成立.

2. (多选)“$ -\dfrac {1}{2}\lt x\lt 2 $”的一个充分不必要条件可以是(BC)
A.$ -4\lt x\lt 3 $
B.$ 0\lt x\lt 1 $
C.$ -\dfrac {1}{2}\lt x\lt \dfrac {1}{2} $
D.$ x\lt 2 $

答案： 选 BC. 对于 A，“$-4 ＜ x ＜ 3$”是“$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$”的一个必要不充分条件，故 A 错误；对于 B，“$0 ＜ x ＜ 1$”是“$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$”的一个充分不必要条件，故 B 正确；对于 C，“$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{1}{2}$”是“$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$”的一个充分不必要条件，故 C 正确；对于 D，“$x ＜ 2$”是“$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$”的一个必要不充分条件，故 D 错误.

3. 已知全集 $ U= \{ x\in \mathbf{N}\mid x\leqslant 4\} $,集合 $ A,B $ 均为 $ U $ 的子集,且 $ \complement _{U}A= \{ x\mid x^{2}-5x + 6 = 0\} $,$ B= \{ 2a,a,3\} $。证明：“$ a = 1 $”是“$ A\cup B = U $”的充分不必要条件。
证明：依题意得 $U = \{0,1,2,3,4\}$，由 $x^2 - 5x + 6 = 0$，得 x=2 或 x=3，则 $\complement_U A = \{2,3\}$，所以 $A = \{0,1,4\}$. 先证充分性：当 a=1 时，$B = \{2,1,3\}$，则 $A \cup B = \{0,1,2,3,4\} = U$，所以“a=1”是“$A \cup B = U$”的充分条件. 再证不必要性：由 $A \cup B = U$，得 $2 \in B$. 当 $2a = 2$，即 a=1 时，$B = \{2,1,3\}$，$A \cup B = U$，当 a=2 时，$B = \{4,2,3\}$，$A \cup B = U$，则由 $A \cup B = U$，得 a=1 或 a=2，所以“a=1”不是“$A \cup B = U$”的必要条件. 综上，“a=1”是“$A \cup B = U$”的充分不必要条件.

答案： 证明：依题意得 $U = \{0,1,2,3,4\}$，由 $x^2 - 5x + 6 = 0$，得 x=2 或 x=3，则 $\complement_U A = \{2,3\}$，所以 $A = \{0,1,4\}$. 先证充分性：当 a=1 时，$B = \{2,1,3\}$，则 $A \cup B = \{0,1,2,3,4\} = U$，所以“a=1”是“$A \cup B = U$”的充分条件. 再证不必要性：由 $A \cup B = U$，得 $2 \in B$. 当 $2a = 2$，即 a=1 时，$B = \{2,1,3\}$，$A \cup B = U$，当 a=2 时，$B = \{4,2,3\}$，$A \cup B = U$，则由 $A \cup B = U$，得 a=1 或 a=2，所以“a=1”不是“$A \cup B = U$”的必要条件. 综上，“a=1”是“$A \cup B = U$”的充分不必要条件.