《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

二 不含参数的一元二次不等式的解法
如图是函数$y = x^{2}-x - 6$的图象及部分对应值表：


思考1 方程$x^{2}-x - 6 = 0$的实根是多少？它的实根与二次函数$y = x^{2}-x - 6的图象与x$轴的交点有什么关系？
思考2 根据图表,写出不等式$x^{2}-x - 6＞0和x^{2}-x - 6＜0$的解集。
思考1提示 $x_{1}=-2$，$x_{2}=3$；这两个根正好是二次函数$y = x^{2}-x - 6$的图象与$x$轴交点的横坐标.
思考2提示 $x^{2}-x - 6＞0$的解集为$\{ x|x＜-2$，或$x＞3\}$；$x^{2}-x - 6＜0$的解集为$\{ x|-2＜x＜3\}$

答案： 思考1提示 $x_{1}=-2$，$x_{2}=3$；这两个根正好是二次函数$y = x^{2}-x - 6$的图象与$x$轴交点的横坐标.
思考2提示 $x^{2}-x - 6＞0$的解集为$\{ x|x＜-2$，或$x＞3\}$；$x^{2}-x - 6＜0$的解集为$\{ x|-2＜x＜3\}$.

二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

答案： ①$\{ x|x＜x_{1}$，或$x＞x_{2}\}$ ②$\{ x|x≠-\frac{b}{2a}\}$ ③R ④$\{ x|x_{1}＜x＜x_{2}\}$ ⑤∅ ⑥∅

[例1](对接教材例1～例3)解下列不等式：
(1)$x^{2}-2x - 3＞0$；
(2)$-x^{2}+6x - 9\geqslant0$；
(3)$-2x^{2}+x - 6＜0$。

答案：
【解】
(1)对于方程$x^{2}-2x - 3 = 0$，因为$△＞0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$.
二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图象开口向上，与$x$轴有两个交点$(-1,0)$和$(3,0)$，如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为$\{ x|x＜-1$，或$x＞3\}$.

(2)原不等式可化为$x^{2}-6x + 9≤0$，即$(x - 3)^{2}≤0$，二次函数$y = (x - 3)^{2}$的图象如图所示，结合图象可得，原不等式的解集为$\{ x|x = 3\}$.

(3)原不等式可化为$2x^{2}-x + 6＞0$.对于方程$2x^{2}-x + 6 = 0$，因为$△ = (-1)^{2}-4×2×6＜0$，所以二次函数$y = 2x^{2}-x + 6$的图象开口向上，与$x$轴无交点，如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为R.

[跟踪训练1] 解下列不等式：
(1)$(2x - 1)(x + 3)＜0$；(2)$2x^{2}＜x - 1$；
(3)$-6x^{2}-x + 2\leqslant0$。

答案：
解：
(1)易知方程$(2x - 1)(x + 3) = 0$的两个实数根分别为$x_{1}=-3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$，作出二次函数$y = (2x - 1)(x + 3)$的图象，如图1所示.由图可得原不等式的解集为$\{ x|-3＜x＜\frac{1}{2}\}$.

(2)原不等式可化为$2x^{2}-x + 1＜0$，因为$△＜0$，所以方程$2x^{2}-x + 1 = 0$无实数根，作出二次函数$y = 2x^{2}-x + 1$的图象，如图2所示.根据图象得不等式$2x^{2}-x + 1＜0$的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.

(3)原不等式可化为$6x^{2}+x - 2≥0$，因为$△＞0$，所以方程$6x^{2}+x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，解得$x_{1}=-\frac{2}{3}$，$x_{2}=\frac{1}{2}$.作出二次函数$y = 6x^{2}+x - 2$的图象，如图3所示.根据图象得不等式$6x^{2}+x - 2≥0$的解集为$\{ x|x≤-\frac{2}{3}$，或$x≥\frac{1}{2}\}$.因此，原不等式的解集为$\{ x|x≤-\frac{2}{3}$，或$x≥\frac{1}{2}\}$.