《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

3.已知函数$f(\sqrt{x - 1})= x + 2$,若$f(a)= 4$,则$a= $1。

答案： 解析:方法一:令t = $\sqrt{x - 1}$, x ≥ 1,则x = t² + 1(t ≥ 0), f(t) = t² + 3(t ≥ 0),故f(a) = a² + 3 = 4(a ≥ 0),得a = 1.
方法二:令$\sqrt{x - 1}$ = 2,得x = 2,所以a = $\sqrt{2 - 1}$ = 1.
答案:1

4.已知函数$f(x)$是一次函数,且满足$f(x - 1)+f(x)= 2x - 1$。
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)求函数$g(x)= [f(x)]^{2}-2f(x)+2$的解析式,并求$g(f(2))$的值。解:
(1)由题意可设f(x) = kx + b(k ≠ 0),代入f(x - 1) + f(x) = 2x - 1,则k(x - 1) + b + kx + b = 2x - 1,整理可得2kx - k + 2b = 2x - 1,解得$\begin{cases} k = 1, \\b = 0, \end{cases}$所以f(x) = x.
(2)由f(x) = x,则g(x) = x² - 2x + 2,由f(2) = 2,则g(f(2)) = g(2) = 2² - 2 × 2 + 2 = 2.

答案： 解:
(1)由题意可设f(x) = kx + b(k ≠ 0),代入f(x - 1) + f(x) = 2x - 1,则k(x - 1) + b + kx + b = 2x - 1,整理可得2kx - k + 2b = 2x - 1,解得$\begin{cases} k = 1, \\b = 0, \end{cases}$所以f(x) = x.
(2)由f(x) = x,则g(x) = x² - 2x + 2,由f
(2) = 2,则g(f
(2)) = g
(2) = 2² - 2 × 2 + 2 = 2.

一 分段函数
某市公共汽车的票价按下列规则实施：(1)5千米以内(包含5千米),票价2元；(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算),已知每两个相邻的公共汽车站之间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)共有11个汽车站。
思考1 从起点站出发,公共汽车的行程x(单位：千米)与票价y(单位：元)是函数关系吗？
思考2 x与y之间有什么特点？
思考1提示 是函数关系. 思考2提示 当x在不同区间内取值时，x与y的对应关系不同.

答案： 思考1提示 是函数关系. 思考2提示 当x在不同区间内取值时，x与y的对应关系不同.

1. 如果函数$y = f(x),x∈A$,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数。
2. 分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集,各段函数定义域的交集是空集。

答案： 不同

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1)分段函数由几个函数构成。(×)
(2)函数$f(x)= \begin{cases}x + 1,x\leqslant1,\\-x + 3,x\gt1\end{cases} $是分段函数。(√)
(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系,但它们是一个函数。(√)
(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为$\varnothing$。(×)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)×

2. 设函数$f(x)= \begin{cases}f(x + 2),x\leqslant0,\\x^2 - 3x,x\gt0,\end{cases} 则f(f(1))= $(B)
A.-4
B.-2
C.0
D.2

答案： B

3. 若函数$f(x)= \begin{cases}-x + 7,x\leqslant2,\\\sqrt{x},x\gt2\end{cases} 且f(a)= 3$,则$a = $9。

答案： 9

4. 已知函数$f(x)= \begin{cases}x^2,-1\leqslant x\leqslant1,\\1,x\lt - 1或x\gt1,\end{cases} 则函数f(x)$的值域为[0,1]。

答案： [0,1]