《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

(1) 函数 $ f(x) = \lg(x + 1)-\frac{1}{x} $ 零点的个数为(C)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 解析:选C.由$\begin{cases}x + 1＞0\\x≠0\end{cases}$，得函数$f(x)=\lg (x + 1)-\frac{1}{x}$的定义域为$(-1,0)\cup(0,+∞)$，函数$f(x)=\lg (x + 1)-\frac{1}{x}$零点的个数，即函数$y=\lg (x + 1)$的图象和函数$y=\frac{1}{x}$的图象的交点个数，如图所示，数形结合可得函数$y=\lg (x + 1)$的图象和函数$y=\frac{1}{x}$的图象的交点个数为2，即函数$f(x)$零点的个数为2.

(2) 函数 $ f(x) = \begin{cases} |2^{x}-1|-a,x \leq 2 \\ x^{2}-6x + 11 - a,x ＞ 2 \end{cases} $ 的零点最多有3个,此时 $ a $ 的取值范围为$(2,3)$。

答案： 解析:$f(x)$的零点个数为函数$g(x)=\begin{cases}|2^{x}-1|,x\leq2\\x^{2}-6x + 11,x ＞ 2\end{cases}$的图象与直线$y = a$的交点个数.$y = g(x)$的大致图象如图所示，当$2 ＜ a ＜ 3$时，$f(x)$的零点个数最多，且最多为3.答案:3 $(2,3)$

1. 函数 $ f(x) = \lg(x - 2) $ 的零点是(3)
A.2
B.3
C.$ (2,0) $
D.$ (3,0) $

答案： 解析:选B.令$f(x)=0$，可得$\lg (x - 2)=0$，所以$x - 2 = 1$，故$x = 3$.所以函数$f(x)=\lg (x - 2)$的零点是3.

2. (多选)若定义在 $ \mathbf{R} $ 上的连续不断的函数 $ f(x) $ 满足 $ f(1) ＞ 0 $,$ f(2) ＜ 0 $,$ f(3) ＜ 0 $,则下列说法错误的是(ACD)
A.$ f(x) $ 在区间 $ (1,2) $ 上有且只有一个零点
B.$ f(x) $ 在区间 $ (1,2) $ 上有零点
C.$ f(x) $ 在区间 $ (1,3) $ 上有且只有一个零点
D.$ f(x) $ 在区间 $ (2,3) $ 上没有零点

答案： 解析:选ACD.由题意可知，$f(1)f(2)＜0$，所以$f(x)$在区间$(1,2)$上有零点，但不确定有几个，故A错误，B正确;$f(1)f(3)＜0$，所以$f(x)$在区间$(1,3)$上有零点，但不确定有几个，故C错误;$f(2)f(3)＞0$，则不确定$f(x)$在区间$(2,3)$是否有零点，故D错误.

3. 函数 $ f(x) = 2^{x}|\log_{0.5}x|-1 $ 的零点个数为2。

答案： 解析:令$f(x)=2|\log _{0.5}x|-1 = 0$，可得$|\log _{0.5}x|=(\frac{1}{2})$，设$g(x)=|\log _{0.5}x|$，$h(x)=(\frac{1}{2})$，在同一平面直角坐标系下画出函数$y = g(x)$，$y = h(x)$的图象，如图所示，则两个函数图象有2个交点，因此函数$f(x)$的零点个数为2.答案:2

4. 函数 $ y = (1 - k)x^{2}-2x - 1 $ 有唯一零点,则实数 $ k $ 的值为1或2。

答案： 解析:①当$1 - k = 0$，即$k = 1$时，$y = - 2x - 1$，令$y = - 2x - 1 = 0$得$x = -\frac{1}{2}$，函数有唯一零点$-\frac{1}{2}$，满足题意;②当$1 - k≠0$时，函数有唯一零点，则$\Delta = 4 + 4(1 - k)=0$，解得$k = 2$.综上，实数k的值为1或2.答案:1或2

一 二分法的概念
在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖励给选手.某次竞猜的物品为价格在 1000 元之内的一款手机,选手开始报价,选手说“800”,主持人说“高了”；选手说“400”,主持人说“低了”.
思考 1
如果是你,你知道接下来如何竞猜吗？
接下来应猜“600”，即区间(400,800)的中点值.
思考 2
通过这种方法能猜到具体价格吗？
可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格.

答案： 思考 1 提示 接下来应猜“600”，即区间(400,800)的中点值.
思考 2 提示 可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格.