《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

已知函数$f(x)= \frac{1}{x - 1}$。
(1)判断点$(2,3)$是否在$f(x)$的图象上,并说明理由；
(2)当$x\in[2,3]$时,$f(x)$的最大值为$m$,最小值为$n$,求$m + n$的值。
三 二次函数的最值
(1)因为$f(2)=\frac{1}{2 - 1}=1≠3$，所以点$(2,3)$不在$f(x)$的图象上。
(2)设$2≤x₁＜x₂≤3$，$f(x₁)-f(x₂)=\frac{1}{x₁ - 1}-\frac{1}{x₂ - 1}=\frac{x₂ - x₁}{(x₁ - 1)(x₂ - 1)}$。因为$2≤x₁＜x₂≤3$，所以$x₂ - x₁＞0$，$(x₁ - 1)(x₂ - 1)＞0$，即$f(x₁)-f(x₂)＞0$，则$f(x₁)＞f(x₂)$，所以函数$f(x)$在区间$[2,3]$上单调递减，$m = f(2)=1$，$n = f(3)=\frac{1}{2}$，所以$m + n = 1 + \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

答案：
(1)f
(2)=$\frac{1}{2 - 1}$ = 1≠3，所以点(2,3)不在f(x)的图象上。
(2)设2≤x₁＜x₂≤3，f(x₁)-f(x₂)=$\frac{1}{x₁ - 1}$ - $\frac{1}{x₂ - 1}$=$\frac{x₂ - x₁}{(x₁ - 1)(x₂ - 1)}$。因为2≤x₁＜x₂≤3，所以x₂ - x₁＞0，(x₁ - 1)(x₂ - 1)＞0，即f(x₁)-f(x₂)＞0，则f(x₁)＞f(x₂)，所以函数f(x)在区间[2,3]上单调递减，m = f
(2)=1，n = f
(3)=$\frac{1}{2}$，所以m + n = 1 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}$。

例2
已知二次函数$f(x)$的最小值为1,$f(0)= f(2)= 3$。
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)若$x\in[t,t + 2]$,试求$y = f(x)$的最小值。
(1)因为f(x)是二次函数，且f(0)=f(2)，所以f(x)图象的对称轴为直线x = 1。又f(x)的最小值为1，所以设f(x)=k(x - 1)²+1(k＞0)。又f(0)=3，所以k = 2。所以f(x)=2(x - 1)²+1 = 2x² - 4x + 3。
(2)由(1)知，函数y = f(x)图象的对称轴为直线x = 1。①若t≥1，则y = f(x)在[t,t + 2]上单调递增，y_min = f(t)=2t² - 4t + 3；②若t + 2≤1，即t≤ - 1，则y = f(x)在[t,t + 2]上单调递减，y_min = f(t + 2)=2t² + 4t + 3；③若t＜1＜t + 2，即 - 1＜t＜1，则y_min = f(1)=1。综上所述，函数y = f(x)的最小值y_min = {2t² - 4t + 3,t≥1,{1, - 1＜t＜1,{2t² + 4t + 3,t≤ - 1。

答案：
(1)因为f(x)是二次函数，且f
(0)=f
(2)，所以f(x)图象的对称轴为直线x = 1。又f(x)的最小值为1，所以设f(x)=k(x - 1)²+1(k＞0)。又f
(0)=3，所以k = 2。所以f(x)=2(x - 1)²+1 = 2x² - 4x + 3。
(2)由
(1)知，函数y = f(x)图象的对称轴为直线x = 1。①若t≥1，则y = f(x)在[t,t + 2]上单调递增，y_min = f(t)=2t² - 4t + 3；②若t + 2≤1，即t≤ - 1，则y = f(x)在[t,t + 2]上单调递减，y_min = f(t + 2)=2t² + 4t + 3；③若t＜1＜t + 2，即 - 1＜t＜1，则y_min = f
(1)=1。综上所述，函数y = f(x)的最小值y_min = {2t² - 4t + 3,t≥1,{1, - 1＜t＜1,{2t² + 4t + 3,t≤ - 1。

已知二次函数$f(x)= x^2 - 2ax + 1$,$a\in R$。
(1)若$a = 1$,求$f(x)在[-1,2]$上的值域；
(2)求$f(x)在[-1,2]上的最小值g(a)$。
四 实际应用中的最值问题
(1)当a = 1时，f(x)=x² - 2x + 1=(x - 1)²。图象的对称轴为直线x = 1。当x = 1时，f(x)取得最小值f(1)=(1 - 1)² = 0。当x = - 1时，f(-1)=(-1 - 1)² = 4，当x = 2时，f(2)=(2 - 1)² = 1。所以f(x)在[-1,2]上的最大值为4，最小值为0，值域为[0,4]。
(2)函数f(x)=x² - 2ax + 1图象的对称轴为直线x = a。当a≤ - 1时，函数f(x)在[-1,2]上单调递增，所以f(x)在[-1,2]上的最小值g(a)=f(-1)=(-1)² - 2a×(-1)+1 = 2 + 2a；当 - 1＜a＜2时，f(x)在x = a处取得最小值，所以g(a)=f(a)=a² - 2a×a + 1 = 1 - a²；当a≥2时，函数f(x)在[-1,2]上单调递减，所以g(a)=f(2)=2² - 2a×2 + 1 = 5 - 4a。综上，f(x)在[-1,2]上的最小值g(a) = {2 + 2a,a≤ - 1,{1 - a², - 1＜a＜2,{5 - 4a,a≥2。

答案：
(1)当a = 1时，f(x)=x² - 2x + 1=(x - 1)²。图象的对称轴为直线x = 1。当x = 1时，f(x)取得最小值f
(1)=(1 - 1)² = 0。当x = - 1时，f(-1)=(-1 - 1)² = 4，当x = 2时，f
(2)=(2 - 1)² = 1。所以f(x)在[-1,2]上的最大值为4，最小值为0，值域为[0,4]。
(2)函数f(x)=x² - 2ax + 1图象的对称轴为直线x = a。当a≤ - 1时，函数f(x)在[-1,2]上单调递增，所以f(x)在[-1,2]上的最小值g(a)=f(-1)=(-1)² - 2a×(-1)+1 = 2 + 2a；当 - 1＜a＜2时，f(x)在x = a处取得最小值，所以g(a)=f(a)=a² - 2a×a + 1 = 1 - a²；当a≥2时，函数f(x)在[-1,2]上单调递减，所以g(a)=f
(2)=2² - 2a×2 + 1 = 5 - 4a。综上，f(x)在[-1,2]上的最小值g(a) = {2 + 2a,a≤ - 1,{1 - a², - 1＜a＜2,{5 - 4a,a≥2。

例3
(对接教材例4)辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄,深受消费者欢迎。某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客,提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案,每斤的售价为24元,顾客买$x(x＞0)$斤,每斤的售价降低$x$元；第二种方案,顾客买$x(x＞0)$斤,每斤的售价为$(14+\frac{21}{x})$元。已知每位顾客限购9斤大果榛子。设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为$f(x)$元,按照第二种方案购买大果榛子的付款额为$g(x)$元。
(1)分别求函数$f(x)$,$g(x)$的解析式；
(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子,甲、乙的付款总额为135元,且甲购买了5斤大果榛子,试问乙购买了多少斤大果榛子？

答案：
(1)根据题意，f(x)=x(24 - x)= - x² + 24x，x∈(0,9]，g(x)=x(14 + $\frac{21}{x}$)=14x + 21，x∈(0,9]。
(2)由
(1)可得，f
(5)=95，g
(5)=91，所以f
(5)＞g
(5)，则甲选择方案二购买，花费91元。若乙花费135 - 91 = 44元，若乙按照方案一购买，则 - x² + 24x = 44，解得x = 2或x = 22，又x∈(0,9]，所以x = 2，即乙可以购买2斤大果榛子，若乙按照方案二购买，则14x + 21 = 44，解得x = $\frac{23}{14}$＜2，所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子。