《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[跟踪训练2]作出下列函数的图象,并指出其值域。
(1)$y = x^{2}+x(-1\leqslant x\leqslant1)$；
(2)$y= \dfrac{2}{x}(0\lt x\leqslant1)$。______

答案：
解:
(1)用描点法作出函数的图象如图1所示.由图可知y = x² + x (-1 ≤ x ≤ 1)的值域为[-$\frac{1}{4}$, 2].
　　　　
(2)用描点法作出函数的图象如图2所示.
由图可知y = $\frac{2}{x}$(0 ＜ x ≤ 1)的值域为[2, +∞).

[例3]求下列函数的解析式。
(1)若$f(\sqrt{x}+1)= x + 2\sqrt{x}$,求$f(x)$的解析式；
(2)已知$f(x)$是一次函数,且满足$3f(x + 1)-2f(x - 1)= 2x + 17$,求$f(x)$的解析式；
(3)已知$f(x)+2f(-x)= x^{2}+2x$,求$f(x)$的解析式。【解】
(1)方法一(换元法):设t = $\sqrt{x}$ + 1, x ≥ 0,则x = (t - 1)², t ≥ 1.所以f(t) = (t - 1)² + 2(t - 1) = t² - 2t + 1 + 2t - 2 = t² - 1,所以f(x) = x² - 1(x ≥ 1).
方法二(配凑法):因为x + 2$\sqrt{x}$ = ($\sqrt{x}$)² + 2$\sqrt{x}$ + 1 - 1 = ($\sqrt{x}$ + 1)² - 1,所以f($\sqrt{x}$ + 1) = ($\sqrt{x}$ + 1)² - 1,所以f(x) = x² - 1(x ≥ 1).
(2)因为f(x)是一次函数，设f(x) = ax + b(a ≠ 0),所以3[a(x + 1) + b] - 2[a(x - 1) + b] = ax + 5a + b = 2x + 17,所以$\begin{cases} a = 2, \\5a + b = 17, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 2, \\b = 7. \end{cases}$故f(x) = 2x + 7.
(3)因为f(x) + 2f(-x) = x² + 2x,所以将x换成 -x,得f(-x) + 2f(x) = x² - 2x,联立两式消去f(-x),得3f(x) = x² - 6x,所以f(x) = $\frac{1}{3}$x² - 2x.

答案： 【解】
(1)方法一(换元法):设t = $\sqrt{x}$ + 1, x ≥ 0,则x = (t - 1)², t ≥ 1.所以f(t) = (t - 1)² + 2(t - 1) = t² - 2t + 1 + 2t - 2 = t² - 1,所以f(x) = x² - 1(x ≥ 1).
方法二(配凑法):因为x + 2$\sqrt{x}$ = ($\sqrt{x}$)² + 2$\sqrt{x}$ + 1 - 1 = ($\sqrt{x}$ + 1)² - 1,所以f($\sqrt{x}$ + 1) = ($\sqrt{x}$ + 1)² - 1,所以f(x) = x² - 1(x ≥ 1).
(2)因为f(x)是一次函数，设f(x) = ax + b(a ≠ 0),所以3[a(x + 1) + b] - 2[a(x - 1) + b] = ax + 5a + b = 2x + 17,所以$\begin{cases} a = 2, \\5a + b = 17, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 2, \\b = 7. \end{cases}$故f(x) = 2x + 7.
(3)因为f(x) + 2f(-x) = x² + 2x,所以将x换成 -x,得f(-x) + 2f(x) = x² - 2x,联立两式消去f(-x),得3f(x) = x² - 6x,所以f(x) = $\frac{1}{3}$x² - 2x.

[跟踪训练3](1)已知函数$f(x)= 2f\left(\dfrac{1}{x}\right)+1$,则$f(10)= $(B)
A.1
B.$-1$
C.10
D.$\dfrac{1}{10}$

答案： 解析:选B.由f(x) = 2f($\frac{1}{x}$) + 1,可得f($\frac{1}{x}$) = 2f(x) + 1,联立$\begin{cases} f(x) = 2f(\frac{1}{x}) + 1, \\f(\frac{1}{x}) = 2f(x) + 1, \end{cases}$解得f(x) = -1,所以f
(10) = -1.

(2)若函数$f\left(x-\dfrac{1}{x}\right)= x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$,且$f(a)= 8$,则实数$a$的值为±$\sqrt{6}$。

答案： 解析:因为函数f(x - $\frac{1}{x}$) = x² + $\frac{1}{x²}$ = (x - $\frac{1}{x}$)² + 2,又y = x - $\frac{1}{x}$的值域为R,所以f(x) = x² + 2(x∈R),由f(a) = 8,可得a² + 2 = 8,解得a = ±$\sqrt{6}$.
答案:±$\sqrt{6}$

(3)已知$f(x)$是二次函数,且$f(0)= 0$,$f(x + 1)= f(x)+x + 1$,则$f(x)= $$\frac{1}{2}x² + \frac{1}{2}x$。

答案： 解析:设f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0),因为f
(0) = 0,可得c = 0,又因为f(x + 1) = f(x) + x + 1,可得a(x + 1)² + b(x + 1) = ax² + bx + x + 1,即ax² + (2a + b)x + b + a = ax² + (b + 1)x + 1,所以$\begin{cases} 2a + b = b + 1, \\b + a = 1, \end{cases}$解得a = b = $\frac{1}{2}$,所以f(x) = $\frac{1}{2}$x² + $\frac{1}{2}$x.
答案:$\frac{1}{2}$x² + $\frac{1}{2}$x

1.(教材$\boldsymbol{P_{69}T_{3}}$改编)函数$y = x - 1(x\geqslant0)$的图象是(A)
A.一条射线
B.一条线段
C.两条射线
D.一条直线

答案： 解析:选A.函数y = x - 1为一次函数，图象为直线，但是当x ≥ 0时，所得到的图象为一条射线.

2.(教材$\boldsymbol{P_{72}}练习\boldsymbol{T_{1}}$改编)甲、乙两人在一次赛跑中,路程$s与时间t$的函数关系如图所示,则下

列说法正确的是(D)
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点

答案： 解析:选D.由题图知，甲、乙同时出发;甲、乙跑的路程一样，故A，B错误;甲跑完全程所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点，则甲速度比乙速度快，故C错误，D正确.