《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

3. 若点$P(4,2)$在函数$f(x)= \log _{a}x(a＞0$,且$a\neq1)$的图象上,点$Q(m,\frac{1}{4})$在$f(x)$反函数的图象上,则$m=$-2。

答案： 3.解析:因为点P(4,2)在函数f(x)=logₐx的图象上,所以2=logₐ4,即a²=4,又a＞0,且a≠1,所以a=2,所以f(x)=log₂x,所以f(x)的反函数为y=2ˣ,又因为点Q(m,1/4)在y=2ˣ的图象上,所以1/4=2ᵐ,得m=-2.
答案:-2

例1
(1) 函数$f(x)= \ln(x^{2}-8x + 12)$的单调递增区间为(D)
A.$(-\infty,2)$
B.$(-\infty,6)$
C.$(2,+\infty)$
D.$(6,+\infty)$

答案：
(1)对于函数f(x)=ln(x²-8x+12),有x²-8x+12＞0,解得x＜2或x＞6,所以函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(6,+∞).因为内层函数u=x²-8x+12在区间(-∞,2)上单调递减,在(6,+∞)上单调递增,外层函数y=ln u为增函数,故函数f(x)=ln(x²-8x+12)的单调递增区间为(6,+∞).
【答案】
(1)D

(2) 设$f(x)= \log _{0.5}[(m - 1)x - 2m + 3]在(1,+\infty)$内单调递减,则$m$的取值范围(1,2]。

答案：
(2)因为f(x)=log₀.₅[(m-1)x-2m+3]在(1,+∞)内单调递减,又y=log₀.₅x为减函数,所以{m-1＞0,m-1-2m+3≥0,解得1＜m≤2.
【答案】
(2)(1,2]

求对数型函数$y= \log _{a}f(x)$单调区间的方法
形如$y= \log _{a}f(x)$的函数的单调性,首先要确保$f(x)＞0$,当$a＞1$时,$y= \log _{a}f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y = f(x)$的单调性一致。当$0 ＜ a ＜ 1$时,$y= \log _{a}f(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y = f(x)$的单调性相反。

答案： 求对数型函数$y=\log_{a}f(x)$单调区间需先求定义域（$f(x)＞0$），再根据$a$的范围（$a＞1$或$0＜a＜1$），结合$f(x)$的单调性确定复合函数单调区间，$a＞1$时与$f(x)$单调性一致，$0＜a＜1$时相反。

例2
(1) 函数$y= \log _{2}(2^{x}+1)$的值域是(D)
A.$[1,+\infty)$
B.$(0,1)$
C.$(-\infty,0)$
D.$(0,+\infty)$

答案：
(1)设t=2ˣ+1,则t=2ˣ+1＞1,故log₂(2ˣ+1)＞0,故y=log₂(2ˣ+1)的值域为(0,+∞).
【答案】
(1)D

(2) 函数$f(x)= \log _{2}(2x)\cdot\log _{8}(8x)$的最小值为-1/3。

答案：
(2)因为f(x)=log₂(2x)·log₈(8x)=(log₂2+log₂x)·(log₈8+log₈x)=(1+log₂x)·(1+1/3log₂x)=1/3(log₂x)²+4/3log₂x+1=1/3(log₂x+2)²-1/3,当log₂x=-2,即x=1/4时,f(x)取到最小值,且f(x)min=-1/3.
【答案】
(2)-1/3

(1) 已知函数$f(x)= \log _{\frac{1}{2}}(x^{2}-2ax + 3)在[-1,1]$上单调递增,则实数$a$的取值范围为(B)
A.$(-2,1]$
B.$[1,2)$
C.$(-\infty,1]$
D.$[1,+\infty)$

答案：
(1)解析:选B.因为y=log₁/₂x在定义域上单调递减,根据复合函数的单调性,知y=x²-2ax+3在[-1,1]上单调递减,且x²-2ax+3＞0对任意的x∈[-1,1]恒成立,所以{a≥1,1-2a+3＞0,解得1≤a＜2.

(2) 函数$y= (2+\log _{2}x)\cdot\log _{2}\frac{x^{2}}{64}$的值域为[-25/2,+∞)。

答案：
(2)解析:由题意知函数的定义域为(0,+∞),而y=(2+log₄x)·log₂(x²/64)=(2+log₄x)·(2log₂x-6),不妨设t=log₂x,t∈R,所以y=(2+t)(2t-6)=2t²-2t-12=2(t-1/2)²-25/2≥-25/2,所以函数y=(2+log₄x)·log₂(x²/64)的值域为[-25/2,+∞).
答案:[-25/2,+∞)

例3
已知函数$f(x)= \log _{a}(1 + x)-\log _{a}(1 - x)(a＞0且a\neq1)$。
(1) 求$f(0)$；
(2) 判断$f(x)$的奇偶性,并用定义证明；
(3) 求使$f(x)\geq0成立的x$的取值范围。
(1)因为f(x)=logₐ(1+x)-logₐ(1-x)(a＞0且a≠1),所以f(0)=logₐ1-logₐ1=0.
(2)函数f(x)是奇函数,证明如下:由题意{1+x＞0,1-x＞0,解得-1＜x＜1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.因为f(-x)=logₐ(1-x)-logₐ(1+x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
(3)当0＜a＜1时,函数y=logₐx在(0,+∞)上是减函数,由f(x)≥0,得logₐ(1+x)≥logₐ(1-x),所以{1+x＞0,1-x＞0,1+x≤1-x,解得-1＜x≤0,所以使f(x)≥0成立的x的取值范围为(-1,0].当a＞1时,函数y=logₐx在(0,+∞)上是增函数,由f(x)≥0,得logₐ(1+x)≥logₐ(1-x),所以{1+x＞0,1-x＞0,1+x≥1-x,解得0≤x＜1,所以使f(x)≥0成立的x的取值范围为[0,1).

答案：
(1)因为f(x)=logₐ(1+x)-logₐ(1-x)(a＞0且a≠1),所以f
(0)=logₐ1-logₐ1=0.
(2)函数f(x)是奇函数,证明如下:由题意{1+x＞0,1-x＞0,解得-1＜x＜1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.因为f(-x)=logₐ(1-x)-logₐ(1+x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
(3)当0＜a＜1时,函数y=logₐx在(0,+∞)上是减函数,由f(x)≥0,得logₐ(1+x)≥logₐ(1-x),所以{1+x＞0,1-x＞0,1+x≤1-x,解得-1＜x≤0,所以使f(x)≥0成立的x的取值范围为(-1,0].当a＞1时,函数y=logₐx在(0,+∞)上是增函数,由f(x)≥0,得logₐ(1+x)≥logₐ(1-x),所以{1+x＞0,1-x＞0,1+x≥1-x,解得0≤x＜1,所以使f(x)≥0成立的x的取值范围为[0,1).