《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

三 充分条件与必要条件的应用
[例 3] 已知$p$：实数$x满足3a ＜ x ＜ a$,其中$a ＜ 0$；$q$：实数$x满足-2\leqslant x\leqslant 3$。若$p是q$的充分条件,求实数$a$的取值范围。
【解】由 p：3a＜x＜a，a＜0，q：-2≤x≤3，可令集合 A={x|3a＜x＜a，a＜0}，集合 B={x|-2≤x≤3}.因为 p⇒q，所以 A⊆B，所以{3a≥-2，a≤3，a＜0，解得-2/3≤a＜0，所以实数 a 的取值范围是{a|-2/3≤a＜0}.
母题探究
将本例中条件$p$改为“实数$x满足-a ＜ x ＜ 3a$,其中$a ＞ 0$”,若$p是q$的必要条件,求实数$a$的取值范围。
解：由 p：-a＜x＜3a，a＞0，q：-2≤x≤3，可令集合 A={x|-a＜x＜3a，a＞0}，集合 B={x|-2≤x≤3}.因为 q⇒p，所以 B⊆A，所以{3a＞3，-a＜-2，解得 a＞2.所以实数 a 的取值范围是{a|a＞2}.

答案： 【解】由 p：3a＜x＜a，a＜0，q：-2≤x≤3，可令集合 A={x|3a＜x＜a，a＜0}，集合 B={x|-2≤x≤3}.因为 p⇒q，所以 A⊆B，所以{3a≥-2，a≤3，a＜0，解得-2/3≤a＜0，所以实数 a 的取值范围是{a|-2/3≤a＜0}. 母题探究 解：由 p：-a＜x＜3a，a＞0，q：-2≤x≤3，可令集合 A={x|-a＜x＜3a，a＞0}，集合 B={x|-2≤x≤3}.因为 q⇒p，所以 B⊆A，所以{3a＞3，-a＜-2，解得 a＞2.所以实数 a 的取值范围是{a|a＞2}.

(1) 若“$x ＞ 2$”是“$x ＞ a$”的必要条件,则$a$的取值范围是 (D)
A.$\{a|a ＜ 2\}$
B.$\{a|a\leqslant 2\}$
C.$\{a|a ＞ 2\}$
D.$\{a|a\geqslant 2\}$

答案： D

(2) 若“$x = 2$”是“$m^2x^2 - (m + 3)x + 4 = 0$”的充分条件,则实数$m$的值为1 或 -1/2。

答案： 1 或 -1/2

1. 下列语句不是命题的是 (C)
A.$5 ＞ 2$
B.$3 ＞ 4$
C.$x - 2 = 0$
D.方程$x^2 - 3x + 4 = 0$有实根

答案： C

2. (多选)以下选项中,是$a ＜ 0$,$b ＜ 0$的一个必要条件的为 (CD)
A.$a - b ＞ 0$
B.$\frac{a}{b} ＜ -1$
C.$a + b ＜ 0$
D.$a + 2b ＜ 1$

答案： CD

3. 设$a\in \mathbf{R}$,则命题“关于$x的方程ax = 1的解集为\{\frac{1}{a}\}$”是假命题。(填“真”或“假”)

答案： 假

4. 若“$x = 2$”是“$x ＜ a$”的充分条件,则实数$a$的取值范围为a＞2。

答案： a＞2