《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

三 重要不等式
如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,将其抽象成如图2的形式。设直角三角形的两条直角边的长为a,b($a\neq b$),那么正方形的边长为$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。


思考1
根据抽象的图形,你能从中得到一个什么样的不等关系？正方形ABCD的面积$a^{2}+b^{2} ＞ 2ab$
思考2
当中间的四边形EFGH缩为一点,即四个直角三角形变为等腰直角三角形时,可以得到什么结论？$a^{2}+b^{2}=2ab$

答案： 思考1 提示 正方形ABCD的面积$a^{2}+b^{2} ＞ 2ab$. 思考2 提示$a^{2}+b^{2}=2ab$.

一般地,$\forall a,b\in\mathbf{R}$,有$a^{2}+b^{2}$①$\geqslant$$2ab$,当且仅当②$a = b$时,等号成立。

答案： ①$\geqslant$ ②$a = b$

[例3]
已知$a＞0$,求证：$a+\frac{1}{a}\geqslant2$。方法一:利用$a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$.因为$a ＞ 0$,所以$a + \frac{1}{a}=(\sqrt{a})^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2} \geqslant 2\sqrt{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}}=2$,当且仅当$a = 1$时,等号成立. 方法二:因为$a + \frac{1}{a}-2=(\sqrt{a})^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}-2=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2} \geqslant 0$,所以$a + \frac{1}{a} \geqslant 2$.

答案： 方法一:利用$a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$.因为$a ＞ 0$,所以$a + \frac{1}{a}=(\sqrt{a})^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2} \geqslant 2\sqrt{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}}=2$,当且仅当$a = 1$时,等号成立. 方法二:因为$a + \frac{1}{a}-2=(\sqrt{a})^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}-2=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2} \geqslant 0$,所以$a + \frac{1}{a} \geqslant 2$.

已知$x + y + z = 1$,求证：$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant\frac{1}{3}$。因为$x^{2}+y^{2} \geqslant 2xy$,$x^{2}+z^{2} \geqslant 2xz$,$y^{2}+z^{2} \geqslant 2yz$,所以$2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} \geqslant 2xy + 2xz + 2yz$,所以$3x^{2}+3y^{2}+3z^{2} \geqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy + 2xz + 2yz$,即$3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geqslant (x + y + z)^{2}$.因为$x + y + z = 1$,所以$(x + y + z)^{2}=1$,所以$3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geqslant 1$,即$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{3}$,当且仅当$x = y = z$时,等号成立.

答案： 因为$x^{2}+y^{2} \geqslant 2xy$,$x^{2}+z^{2} \geqslant 2xz$,$y^{2}+z^{2} \geqslant 2yz$,所以$2x^{2}+2y^{2}+2z^{2} \geqslant 2xy + 2xz + 2yz$,所以$3x^{2}+3y^{2}+3z^{2} \geqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy + 2xz + 2yz$,即$3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geqslant (x + y + z)^{2}$.因为$x + y + z = 1$,所以$(x + y + z)^{2}=1$,所以$3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geqslant 1$,即$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \frac{1}{3}$,当且仅当$x = y = z$时,等号成立.

课堂巩固
1.
若$a= (x + 1)(x + 3)$,$b = 2(x + 2)^{2}$,则下列结论正确的是(B)
A. $a＞b$
B. $a＜b$
C. $a\geqslant b$
D. $a$,$b$大小不确定

答案： B

2.
(多选)下列说法正确的是(BCD)
A. 某人月收入x(单位：元)不高于2000元可表示为“$x＜2000$”
B. 小明的体重为x kg,小华的体重为y kg,则小明比小华重表示为“$x＞y$”
C. 某变量x至少为a可表示为“$x\geqslant a$”
D. 某变量y不超过a可表示为“$y\leqslant a$”

答案： BCD

3.
(教材$P_{40}T_{1(3)}$改编)某车工计划在15天里加工零件408个,最初3天中,每天加工24个,若以后平均每天至少加工x个零件,才能在规定的时间内超额完成任务。则此问题应满足的不等关系式是$72 + 12x ＞ 408$。

答案： $72 + 12x ＞ 408$