《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. (教材 $ P_{85} $ 习题 $ 3.2T_1 $ 改编) 已知函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示,则该函数的单调递减区间为(C)

A.$ (-3, -1) \cup (1, 4) $
B.$ (-5, -3) \cup (-1, 1) $
C.$ (-3, -1) $,$ (1, 4) $
D.$ (-5, -3) $,$ (-1, 1) $

答案： C

2. (多选) 下列判断中,正确的是(AD)
A.$ \forall x_1, x_2 \in \mathbf{R} $ 且 $ x_1 ＜ x_2 $ 时,$ f(x_1) ＞ f(x_2) $,则 $ f(x) $ 是减函数
B.函数 $ f(x) = x^2 $ 是增函数
C.函数 $ y = -\frac{1}{x} $ 是增函数
D.函数 $ y = \frac{1}{x - 1} $ 的单调递减区间为 $ (-\infty, 1) $,$ (1, +\infty) $

答案： AD

3. (教材 $ P_{86} T_{8(3)} $ 改编) 函数 $ f(x) = -x^2 + 2(a - 1)x + 2 $ 在 $ (-\infty, 2) $ 上单调递增,则 $ a $ 的取值范围是 $[3,+\infty)$。

答案： $[3,+\infty)$（或填写符合题意“$a$取值包含3及以上”的对应形式，根据题目空白处预期填“$a \geq 3$的简洁表示”，故以区间形式给出答案）

4. 判断并证明函数 $ f(x) = \frac{3}{x^2} $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上的单调性。
判断：函数 $ f(x) = \frac{3}{x^2} $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递减。
证明：任取 $ x_1, x_2 \in (0, +\infty) $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，
则 $ f(x_1) - f(x_2) = \frac{3}{x_1^2} - \frac{3}{x_2^2} = 3\left(\frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 x_2^2}\right) = 3\left(\frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_1^2 x_2^2}\right) $。
因为 $ x_1, x_2 \in (0, +\infty) $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，
所以 $ x_2 - x_1 ＞ 0 $，$ x_2 + x_1 ＞ 0 $，$ x_1^2 x_2^2 ＞ 0 $，
因此 $ f(x_1) - f(x_2) ＞ 0 $，即 $ f(x_1) ＞ f(x_2) $。
故函数 $ f(x) = \frac{3}{x^2} $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递减。

答案： 判断：函数 $ f(x) = \frac{3}{x^2} $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递减。
证明：任取 $ x_1, x_2 \in (0, +\infty) $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，
则 $ f(x_1) - f(x_2) = \frac{3}{x_1^2} - \frac{3}{x_2^2} = 3\left(\frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 x_2^2}\right) = 3\left(\frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_1^2 x_2^2}\right) $。
因为 $ x_1, x_2 \in (0, +\infty) $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，
所以 $ x_2 - x_1 ＞ 0 $，$ x_2 + x_1 ＞ 0 $，$ x_1^2 x_2^2 ＞ 0 $，
因此 $ f(x_1) - f(x_2) ＞ 0 $，即 $ f(x_1) ＞ f(x_2) $。
故函数 $ f(x) = \frac{3}{x^2} $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递减。

一 函数的最大(小)值
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线。请根据曲线图说说气温的变化情况。

思考1
该天的最高气温和最低气温分别是多少？
思考2
设该天某时刻的气温为$f(x)$,则$f(x)$在哪个范围内变化？
思考3
从函数图象上看,气温的最大值、最小值在什么时刻取得？
思考1提示 该天的最高气温为25℃，最低气温为 - 5℃。思考2提示 该天某时刻的气温f(x)的变化范围是[-5℃,25℃]。思考3提示 气温的最大值在t = 17处取得，气温的最小值在t = 6处取得。

答案： 思考1提示 该天的最高气温为25℃，最低气温为 - 5℃。思考2提示 该天某时刻的气温f(x)的变化范围是[-5℃,25℃]。思考3提示 气温的最大值在t = 17处取得，气温的最小值在t = 6处取得。