《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

一 逆命题
已知命题：若$\frac{a}{b}＞1$,则$a＞b$。
思考1 该命题是真命题还是假命题？是假命题，如$\dfrac{-2}{-1}＞1$，但$-2＜-1$．
思考2 若$a＞b$,则$\frac{a}{b}＞1$,是真命题吗？是假命题，如$2＞-1$，有$\dfrac{2}{-1}＜1$．

答案： 思考1提示 是假命题，如$\dfrac{-2}{-1}＞1$，但$-2＜-1$．思考2提示 是假命题，如$2＞-1$，有$\dfrac{2}{-1}＜1$．

将命题“若$p$,则$q$”中的条件$p和结论q$互换,就得到一个新的命题“若$q$，则$p$”,称这个命题为原命题的逆命题。

答案： 若$q$，则$p$

1. “若$x＞2$,则$x^{2}-3x+2＞0$”的逆命题是(D)
A.若$x^{2}-3x+2＜0$,则$x\geq2$
B.若$x\leq2$,则$x^{2}-3x+2\leq0$
C.若$x^{2}-3x+2\leq0$,则$x\geq2$
D.若$x^{2}-3x+2＞0$,则$x＞2$

答案： 解析：选D．“若$x＞2$，则$x^{2}-3x+2＞0$”的逆命题为“若$x^{2}-3x+2＞0$，则$x＞2$”，故选D．

2. 命题“如果$a + b = 0$,那么$a$,$b$互为相反数”的逆命题为真命题。(填“真”或“假”)

答案： 解析：命题“如果$a+b=0$，那么$a$，$b$互为相反数”的逆命题为“如果$a$，$b$互为相反数，那么$a+b=0$”，该命题为真命题．答案：真

3. 把下列命题改写成“若$p$,则$q$”的形式,并写出其逆命题。
(1)当$x^{2}-4 = 0$时,$x = 2$；
(2)如果抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过原点,那么$c = 0$；
(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等。
解：
(1)若$x^{2}-4=0$，则$x=2$；逆命题：若$x=2$，则$x^{2}-4=0$．
(2)若抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过原点，则$c=0$；逆命题：若$c=0$，则抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过原点．
(3)若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上．

答案： 解：
(1)若$x^{2}-4=0$，则$x=2$；逆命题：若$x=2$，则$x^{2}-4=0$．
(2)若抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过原点，则$c=0$；逆命题：若$c=0$，则抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过原点．
(3)若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上．

二 充要条件
给出下面两个“若$p$,则$q$”形式的命题：
(1)若$a^{2}+b^{2}= 0$,则$a = b = 0$；
(2)若$a = b = 0$,则$a^{2}+b^{2}= 0$。
思考1 能判断这两个命题的真假吗？
思考1提示
(1)是真命题；
(2)是真命题．
思考2 若$p$：$a^{2}+b^{2}= 0$,$q$：$a = b = 0$,则$p是q$的什么条件？
思考2提示 由命题
(1)知$p$是$q$的充分条件；由命题
(2)知$p$是$q$的必要条件．
思考3 命题(1)与命题(2)有什么关系？
思考3提示 互为逆命题．

答案： 思考1提示
(1)是真命题；
(2)是真命题．思考2提示 由命题
(1)知$p$是$q$的充分条件；由命题
(2)知$p$是$q$的必要条件．思考3提示 互为逆命题．