《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

[例2] 已知关于$x的不等式ax^{2}-(a + 1)x + 1＜0$($a\in\mathbf{R}$)。
(1)当$a = -2$时,求不等式的解集；
(2)当$a＞0$时,求不等式的解集。
【解】
(1)当$a = -2$时，不等式为$-2x^{2}+x + 1＜0$，即$2x^{2}-x - 1＞0$，解得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞1$，所以不等式的解集为$\{ x|x＜-\frac{1}{2}$，或$x＞1\}$.
(2)当$a＞0$时，不等式可化为$(ax - 1)(x - 1)＜0$，即$(x - \frac{1}{a})(x - 1)＜0$，
若$a = 1$，则不等式为$(x - 1)^{2}＜0$，不等式的解集为∅；
若$a＞1$，则$\frac{1}{a}＜1$，解不等式得$\frac{1}{a}＜x＜1$，不等式的解集为$\{ x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$；
若$0＜a＜1$，则$1＜\frac{1}{a}$，解不等式得$1＜x＜\frac{1}{a}$，不等式的解集为$\{ x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$.
综上，当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$\{ x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$；当$a = 1$时，不等式的解集为∅；当$a＞1$时，不等式的解集为$\{ x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$.

答案： 【解】
(1)当$a = -2$时，不等式为$-2x^{2}+x + 1＜0$，即$2x^{2}-x - 1＞0$，解得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞1$，所以不等式的解集为$\{ x|x＜-\frac{1}{2}$，或$x＞1\}$.
(2)当$a＞0$时，不等式可化为$(ax - 1)(x - 1)＜0$，即$(x - \frac{1}{a})(x - 1)＜0$，
若$a = 1$，则不等式为$(x - 1)^{2}＜0$，不等式的解集为∅；
若$a＞1$，则$\frac{1}{a}＜1$，解不等式得$\frac{1}{a}＜x＜1$，不等式的解集为$\{ x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$；
若$0＜a＜1$，则$1＜\frac{1}{a}$，解不等式得$1＜x＜\frac{1}{a}$，不等式的解集为$\{ x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$.
综上，当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$\{ x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$；当$a = 1$时，不等式的解集为∅；当$a＞1$时，不等式的解集为$\{ x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$.

[跟踪训练2] 求关于$x$的不等式的解集：$x^{2}+(a - 2)x - 2a\leqslant0$。
解：由$x^{2}+(a - 2)x - 2a≤0$可得$(x + a)(x - 2)≤0$，
当$-a = 2$，即$a = -2$时，由$(x - 2)^{2}≤0$知，$x = 2$；
当$-a＞2$，即$a＜-2$时，解得$2≤x≤-a$；
当$-a＜2$，即$a＞-2$时，解得$-a≤x≤2$.
综上，当$a＜-2$时，解集为$\{ x|2≤x≤-a\}$；当$a = -2$时，解集为$\{ x|x = 2\}$；当$a＞-2$时，解集为$\{ x|-a≤x≤2\}$.

答案： 解：由$x^{2}+(a - 2)x - 2a≤0$可得$(x + a)(x - 2)≤0$，
当$-a = 2$，即$a = -2$时，由$(x - 2)^{2}≤0$知，$x = 2$；
当$-a＞2$，即$a＜-2$时，解得$2≤x≤-a$；
当$-a＜2$，即$a＞-2$时，解得$-a≤x≤2$.
综上，当$a＜-2$时，解集为$\{ x|2≤x≤-a\}$；当$a = -2$时，解集为$\{ x|x = 2\}$；当$a＞-2$时，解集为$\{ x|-a≤x≤2\}$.

1.(教材$P_{53}T_{1}$改编)不等式$(x - 3)(5 - x)＜0$的解集为($\{ x|x＜3$，或$x＞5\}$)
A.$\{x|3＜x＜5\}$
B.$\{x|x＜3$,或$x＞5\}$
C.$\{x|-5＜x＜-3\}$
D.$\{x|x＜-5$,或$x＞-3\}$

答案： 解析：选B.由$(x - 3)(5 - x)＜0$，得$(x - 3)(x - 5)＞0$，解得$x＜3$或$x＞5$，则不等式$(x - 3)(5 - x)＜0$的解集为$\{ x|x＜3$，或$x＞5\}$.

2.(多选)不等式$3x^{2}-5x - 7＜0$的解集为A，则正确的是(AD)
A.$-1\in A$
B.$0\in A$
C.$2\notin A$
D.$3\notin A$

答案： 解析：选AD.$3×(-1)^{2}-5×(-1)-7 = 3 + 5 - 7 = 1＞0$，故$-1∈A$，A正确；$3×0^{2}-5×0 - 7 = -7＜0$，故$0∉A$，B错误；$3×2^{2}-5×2 - 7 = 12 - 10 - 7 = -5＜0$，故$2∉A$，C错误；$3×3^{2}-5×3 - 7 = 27 - 15 - 7 = 5＞0$，故$3∉A$，D正确.

3.(教材$P_{55}习题2.3T_{2}$改编)要使$\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+x + 12}}$有意义,则$x$的取值范围为$\{ x|-3＜x＜4\}$。

答案： 解析：由题可得$-x^{2}+x + 12＞0$，可转化为$x^{2}-x - 12＜0$，解得$-3＜x＜4$.所以$x$的取值范围为$\{ x|-3＜x＜4\}$.
答案：$\{ x|-3＜x＜4\}$

4. 求不等式$12x^{2}-ax＞a^{2}$($a\in\mathbf{R}$)的解集。
解：不等式$12x^{2}-ax＞a^{2}$，可化为$12x^{2}-ax - a^{2}＞0$，即$(4x + a)(3x - a)＞0$，令$(4x + a)(3x - a)=0$，解得$x_{1}=-\frac{a}{4}$，$x_{2}=\frac{a}{3}$.
当$a＞0$时，$-\frac{a}{4}＜\frac{a}{3}$，不等式的解集为$\{ x|x＜-\frac{a}{4}$，或$x＞\frac{a}{3}\}$；
当$a = 0$时，$-\frac{a}{4}=\frac{a}{3}=0$，不等式的解集为$\{ x|x≠0\}$；
当$a＜0$时，$-\frac{a}{4}＞\frac{a}{3}$，不等式的解集为$\{ x|x＜\frac{a}{3}$，或$x＞-\frac{a}{4}\}$.

答案： 解：不等式$12x^{2}-ax＞a^{2}$，可化为$12x^{2}-ax - a^{2}＞0$，即$(4x + a)(3x - a)＞0$，令$(4x + a)(3x - a)=0$，解得$x_{1}=-\frac{a}{4}$，$x_{2}=\frac{a}{3}$.
当$a＞0$时，$-\frac{a}{4}＜\frac{a}{3}$，不等式的解集为$\{ x|x＜-\frac{a}{4}$，或$x＞\frac{a}{3}\}$；
当$a = 0$时，$-\frac{a}{4}=\frac{a}{3}=0$，不等式的解集为$\{ x|x≠0\}$；
当$a＜0$时，$-\frac{a}{4}＞\frac{a}{3}$，不等式的解集为$\{ x|x＜\frac{a}{3}$，或$x＞-\frac{a}{4}\}$.