《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. (教材 $P_{86}T_{11}$ 改编)已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数,当 $x\leqslant0$ 时,$f(x)= x^{2}+2x$,则 $x＞0$ 时,$f(x)=$(C)
A.$-x^{2}-2x$
B.$x^{2}-2x$
C.$-x^{2}+2x$
D.$x^{2}+2x$

答案： C

2. (多选)已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数,且有 $f(3)＞f(1)$,则下列各式中一定成立的是(AB)
A.$f(-1)＜f(3)$
B.$f(1)＜f(-3)$
C.$f(3)＞f(2)$
D.$f(2)＞f(0)$

答案： AB

3. 请写出一个满足以下两个条件的函数 $f(x)=$$x^{2}$（答案不唯一）.
① $f(x)$ 是偶函数；② $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增.

答案： $x^{2}$（答案不唯一）

4. 已知函数 $f(x)$ 是定义域在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数,且在区间 $(-\infty,0]$ 上单调递减,求满足 $f(x^{2}+2x - 3)＞f(-x^{2}-4x + 5)$ 的 $x$ 的集合.
解：依题意得函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，由于$f(x^{2}+2x-3)＞f(-x^{2}-4x+5)$，所以$x^{2}+2x-3＜-x^{2}-4x+5$，即$2x^{2}+6x-8＜0$，所以$x^{2}+3x-4＜0$，即$(x+4)(x-1)＜0$，解得$-4＜x＜1$，所以满足$f(x^{2}+2x-3)＞f(-x^{2}-4x+5)$的$x$的集合为$\{x|-4＜x＜1\}$。

答案： 解：依题意得函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，由于$f(x^{2}+2x-3)＞f(-x^{2}-4x+5)$，所以$x^{2}+2x-3＜-x^{2}-4x+5$，即$2x^{2}+6x-8＜0$，所以$x^{2}+3x-4＜0$，即$(x+4)(x-1)＜0$，解得$-4＜x＜1$，所以满足$f(x^{2}+2x-3)＞f(-x^{2}-4x+5)$的$x$的集合为$\{x|-4＜x＜1\}$。

1. 函数 $ g(x) = x|x - 1| + 1 $ 的单调递减区间为 ( )

A.$ (-\infty,\frac{1}{2}] $
B.$ [\frac{1}{2},1] $
C.$ [1,+\infty) $
D.$ (-\infty,\frac{1}{2}] \cup [1,+\infty) $

答案：
解析：选 B. g(x)=x|x - 1| + 1 = { x² - x + 1, x ≥ 1; -x² + x + 1, x ＜ 1 }
画出函数 y = g(x)的图象如图所示，由图可知，函数 g(x)的单调递减区间为[$\frac{1}{2}$,1].
　　　　　　　　　

2. 已知 $ f(x)= \begin{cases}(3 - a)x - 4a,x \lt 1,\\x^2,x \geq 1\end{cases} $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的增函数,那么 $ a $ 的取值范围是 (C)
A.$ (-\frac{2}{5},3) $
B.$ (\frac{2}{5},3) $
C.$ [\frac{2}{5},3) $
D.$ (\frac{5}{2},3) $

答案： 解析：选 C. 由于 y = x²在[1, +∞)上单调递增，要想 f(x) = { (3 - a)x - 4a (x ＜ 1); x² (x ≥ 1) } 是 R 上的增函数，需满足 { 3 - a ＞ 0; 3 - a - 4a ≤ 1² }，解得$\frac{2}{5}$ ≤ a ＜ 3，故 a 的取值范围是[$\frac{2}{5}$, 3).

3. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ (0,+\infty) $ 上的减函数,则使不等式 $ f(a + 5) \lt f(2a + 1) $ 成立的实数 $ a $ 的取值范围是 (-$\frac{1}{2}$, 4).

答案： 解析：因为函数 f(x)为(0, +∞)上的减函数，则由 f(a + 5) ＜ f(2a + 1)，可以得出 { a + 5 ＞ 2a + 1; 2a + 1 ＞ 0; a + 5 ＞ 0 }，所以 -$\frac{1}{2}$ ＜ a ＜ 4.
答案：(-$\frac{1}{2}$, 4)